2024北师版高中数学选择性必修第二册同步练习--5 数学归纳法.docxVIP

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2024北师版高中数学选择性必修第二册同步

*§5数学归纳法

基础过关练

题组一用数学归纳法证明等式

1.(2021黑龙江大庆铁人中学期末)若用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=n2+n42(n∈N+),则当n=k+1时,等式左边应该在n

A.k2+1B.(k+1)2

C.(k+2)2D.(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2

2.用数学归纳法证明1-12+13-14+…+12n?1-12n=1n+1+

3.用数学归纳法证明:1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4)2(

题组二用数学归纳法证明不等式

4.(2021河南省实验中学期中)用数学归纳法证明2n≥n2(n≥4)时,第二步应假设()

A.n=k≥2时,2k≥k2

B.n=k≥3时,2k≥k2

C.n=k≥4时,2k≥k2

D.n=k≥5时,2k≥k2

5.(2022河南联考)某同学回答“用数学归纳法证明n(n+1)n+1(n

①当n=1时,显然命题成立.

②假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,k(k+1)k+1,那么当n=k+1时,(k+1)(k+2)=k2+3k

由①②可知对于任意n∈N+,命题都成立.

已知以上证法是错误的,则错误在于()

A.从k到k+1的推理过程没有使用归纳假设

B.假设的写法不正确

C.从k到k+1的推理不严谨

D.当n=1时,验证过程不具体

6.(2023河南焦作期中)已知x-1且x≠0,用数学归纳法证明命题“当n∈Z且n1时,(1+x)n1+nx”,第一步应验证的不等式为.?

7.已知f(n)=1+12+13+…+1n(n∈N+),用数学归纳法证明f(2n)n+12时,f(2k+1)-f

8.(2022江西抚州七校期末)用数学归纳法证明3n?13n+13n3n+1对任意n≥n

9.(2023河北唐县一中期中)设等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=4,a4=S3.数列{bn}满足对任意n∈N+,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列.

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;

(2)记cn=an2bn,n∈N+,证明:c1+c2+…+cn2n,

题组三用数学归纳法解决归纳—猜想—证明问题

10.平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都无公共点,用f(n)表示这n个圆把平面分割成的区域数,那么f(n+1)与f(n)之间的关系为()

A.f(n+1)=f(n)+n

B.f(n+1)=f(n)+2n

C.f(n+1)=f(n)+n+1

D.f(n+1)=f(n)+n-1

11.观察下列不等式:112,1+12+131,1+12+13+…+1732,1+12+13+…+1152,1+12+13+…+

12.(2022山西大同一中月考)已知数列{an}满足a1=16,前n项和Sn=n(n

(1)求a2,a3,a4的值;

(2)猜想an的表达式,并用数学归纳法证明.

13.定义在正整数集上的函数y=f(n)满足f(n)·[f(n+1)+1]=2[2-f(n+1)],且f(1)=2.

(1)求证:f(3)-f(2)=910

(2)是否存在实数a,b,使f(n)=1a?32n

*§5数学归纳法

基础过关练

1.D

4.C

5.A

10.B

1.D当n=k时,等式左边=1+2+3+…+k2,

当n=k+1时,等式左边=1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2,在n=k的基础上增加了(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.故选D.

2.答案1-12=

解析因为n∈N+,所以第一步应验证n=1时的等式,此时左边=1-12,右边=12,故填1-12

3.证明①当n=1时,左边=1+2+3+4=10,右边=(1+3)×(1+4)2=10,左边=右边

②假设当n=k(k≥1,k∈N+)时等式成立,

即1+2+3+…+(k+3)=(k

则当n=k+1时,1+2+3+…+(k+3)+(k+4)=(k+3)(k+4)2

即当n=k+1时,等式也成立.

综上,1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4)2(

4.C根据数学归纳法的证明步骤,可知第二步应假设n=k≥4时,2k≥k2,故选C.

5.A从n=k(k∈N+)到n=k+1的推理中没有使用归纳假设,不符合数学归纳法的证明要求.

6.答案(1+x)21+2x

解析因为n∈Z且n1,所以n的初始值为2,

所以第一步应验证的不等式为(1+x)21+2x.

易错警示在利用数学归纳法证明命题时,不能误以为n的初始值只能取1,n的初始值是使命题成立的n的最小正整数.

7.答案12k+1+

解析因为当n=k时,f(2k)=1+12+13+…