随机变量与分布期末练习题集与答案解析.docx

随机变及其分布期末练习题及答案

在事件A发生的概为 p的伯努试验中，以 ?记第r次A发生时的试验的次数，求

?的分布。

[解]P(??k)?P?前k-1次试验中A恰好出现了r?1次而第k次试验A发生?

?Cr?1pr?1(1?p)k?r?p

k?1

?Cr?1pr(1?p)k?r,(k?r,r?1, )

k?1

小结求离散型随机变的分布时， 首先应该搞清随机变取可能值时所表示的随机事件，然后确定其分布。 为验证所求分布是否正确，通常可计算一下所求得的“分布之和是否为1，是，则结果一定是错误的。

设随机变 X的分布函数为

?1,x?0

?F(x)??Ax2.0?x?1;

?

??1,x?1.

?

求（1）A的值；（2）X在 (?1,1)及(1,2)内的概；（3）X的概密函数。

2 3

[解]（1）有分布函数的右连续性，在x?1点处有F(1)?A?F(1?0)?1，即A?1

1 1 1

（2）由分布函数的性质知，P(X?(?1, ))?F( )?F(?1)? ；

2 2 4

1? ?；P(X?(? ,2))?F(2)?F(1)?1??1?2?8

1

? ?

；

3 3 ?3? 9

（3）由于F(x)最多除x?1和0点外处处可导，且在x?0,1处连续，取

?0,x?0或x?1;

?f(x)??2x,0?x?1.

?

则f(x)?0，且对一 x有F(x)??x

??

f(t)dt，从而f(x)为随机变 X的密函数。

3．设X~N(2,?2)，且P(2?X?4)?0.3，求P(X?0)

0.3?P(2?X?4)???2???(0)

[解]因为

? ?

???

??2??0.3?0.5?0.8

所以 ? ?

???

?X?2 0?2? ? 2? ?2?

于是 P(X?0)?P? ?

? ? ??????

??1????

??0.2

? ? ? ? ? ?

4．一批鸡蛋，优品种占三分之二，一般品种占三分之一，优品种蛋重（单位：克）

X ~N(55,52)，一般品种蛋重X ~N(45,52)。

1 2

从中任取一个，求其重大于 50克概；（2）从中任取两个，求它们的重小于

50克的概。

[解]（1）设A：任取一蛋其重大于 50克。

B：任取一蛋为优品种

1

B：任取一蛋为一般品种

2

2 1

则B,B

1 2

互斥，且B

1

B ?S，P(B)?

2 1

,P(B)?

3 2 3

P(AB

1

P(AB

)?P(X

1

)?P(X

?50)?1???50?55??0.8413

? ?? 5

? ?

? ??50)?1???50?45??

? ?

2 2 ? 5 ?

由全概公式得

P(A)?P(B

1

)P(AB

1

)?P(B

2

)P(AB)

2

?2?0.8413?1?0.1587?0.6138

3 3

）从中任取 2个，每个蛋重大于 50克的概 p?0.6138，小于 50克的概

q?1?p?1?0.6138

设任取2个，有Y个大于50克，则Y~B(2,p)

于是所求概为

P(Y?0)?C0p0q2

2

?(1?0.6138)2

?0.1492

问题与思考

以样本点为自变的任意单值实函数是随机变吗？

非离散型随机变就一定是连续型随机变吗？

设X为连续型随机变，而 g(x)为连续函数，Y?g(X)还是连续型随机变吗？

同的随机变其分布函数可能相同吗？

连续型随机变的密函数连续吗？

练习与答案

一批产品，其中有9件正品，3件次品。现逐一取出使用，直到取出正品为止，求在取到正品以前已取出次品数的分布、分布函数。

重复独抛掷一枚硬币，每次出现正面的概为 p(0?p?1)，出现反面的概为

q?1?p，一直抛到正反出现为止，求所需抛掷次数的分布。

对目标进 5000次独射击，设每次击中的概为 0.001，求至少有两次命中的概。

已知某元件使用寿命T服从参数?