随机变量的数字特征习题课.docx

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第12讲随机变量的数字特征习题课

教学目的：掌握随机变量的数字特征，了解切比雪夫不等式和大数定律。

教学重点：理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算，熟悉常用分布的数学期望和方差。

教学难点：随机变量函数的数学期望。教学时数：2学时

教学过程：

一、知识要点回顾

随机变量X的数学期望E(X)

对离散随机变量E(X)??x

i

p(x)

i

i

若i?1,2, ，则假定这个级数绝对收敛，否则就没有数学期望。

对连续随机变量E(X)??

??xf(x)dx

??

假定这个广义积分绝对收敛，否则就没有数学期望。

随机变量X的函数g(X)的数学期望E[g(X)]，其中g(X)为实函数。

对离散随机变量E[g(X)]??g(x)p(x)

i i

i

对连续随机变量E[g(X)]????g(x)f(x)dx

??

假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。

二维随机变量(X,Y)的函数g(X,Y)的数学期望E[g(X,Y)]，其中g(X,Y)为二元

实函数。

对离散随机变量E[g(X,Y)]??? g(x,y

i j

)p(x,y)

i j

i j

对连续随机变量E[g(X,Y)]???????g(x,y)f(x,y)dxdy

?? ??

假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。

数学期望的性质（假定所涉及的数学期望都存在）

E(c)?c,(c为常数)

E(cX)?cE(X),(c为常数)

E(aX b) aE(X)b,(a,b为常数)

E(X Y) E(X) E(Y)

n n

E( cX) cE(X)

i i i i

i1 i1

若X,Y相互独立，则E(XY) E(X)E(Y)。

若X,X

1

, ,X

2

相互独立，则E(XX

n 1 2

X) E(X

n

)E(X

1

) E(X)。

2 n

随机变量X 的方差D(X) E{[X

E(X),E(2X都)存在。

方差的性质

D(c) 0,(c为常数)

D(cX) c2D(X),(c为常数)

D(aX b) a2D(X),(a,b为常数)

E(2X)]}E2

(X )E[2，X(这)里]假定

若X,Y相互独立，则D(X Y) D(X) D(Y)。

n n

若X,X

, ,X

相互独立，c,c

, ,c

为常数，则D( cX) c2D(X)。

1 2 n

1 2 n

i i i i

i1 i1

随机变量X的k阶原点矩

(X) E(Xk)

k

随机变量X的k阶中心矩

(X) E{[X E(X)]k}

k

易知，

(X) E(X),

1

(X) 0,

1

(X) D(X)。

2

随机变量X与Y的协方差

cov(X,Y) E{[X E(X)]Y[

E(Y)]}E(XY) E(X)E(Y)

D(aX bY) a2D(X)b2D(Y)2abcov(X,Y),(a,b为常数)

cov(X,Y) cov(Y,X)

cov(aX,bY) abcov(X,Y),(a,b为常数)

cov(X?Y,Z)?cov(X,Z)?cov(Y,Z)

若cov(X,Y)?0，则称X与Y不相关。若随机变量X与Y相互独立，则X与Y一定不相关，反之不成立。

D(X) D(Y)随机变量X与Y

D(X) D(Y)

|R(X,Y)|?1

Y?a?bX?|R(X,Y)|?1

cov(X,Y)

切比雪夫不等式：若随机变量X的数学期望E(X)与方差D(X)存在，则对任意正

数?有

P??

X?E(X)?????

D(X)

?2

由切比雪夫不等式可证明切比雪夫定理，进而推出伯努利定理。后面两个定理是常用的大数定律。

二、典型例题解析

已知随机变量X的概率分布为

X

X

-2

0

1

p

0.3

0.4

0.3

i

求E(4X2?6)。

分析由要点2，令g(X)?4X2?6，代入公式即可。解

E(4X2