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《函数的最大值》ppt课件

函数的最大值定义

函数最大值的求法

函数最大值的应用

函数最大值的性质

函数最大值的实际例子

contents

目

录

01

函数的最大值定义

01

02

函数最大值是函数在定义域内的上界，但不一定是上确界。

函数最大值是指在函数的定义域内，存在一个点，使得函数在该点的值大于或等于其他所有点的值。

设函数为$f(x)$，其定义域为$D$，函数最大值为$M$，则有$M=maxf(x)$，其中$xinD$。

函数最大值可以用数学符号表示为$M=maxf(x)$，其中$xinD$。

对于连续函数，在其定义域内一定存在最大值和最小值。

对于离散函数，其最大值可能不存在，因为可能存在多个点使得函数取到相同的最大值。

对于单调函数，在其定义域内一定存在最大值和最小值。

02

函数最大值的求法

导数反映函数在某一点附近的变化率，当导数为0时，函数在该点可能取得极值。

二阶导数测试法：通过判断二阶导数的正负来判断一阶导数是否取到极值，进而确定函数是否取到最大值或最小值。

判断一阶导数的正负，确定函数在某区间内的单调性。

当一阶导数由负变正时，函数在该点取得极大值；当一阶导数由正变负时，函数在该点取得极小值。

通过判断二阶导数的正负来判断一阶导数是否取到极值，进而确定函数是否取到最大值或最小值。

当二阶导数大于0时，一阶导数在该点取得极小值，此时原函数在该点取得最大值；当二阶导数小于0时，一阶导数在该点取得极大值，此时原函数在该点取得最小值。

03

函数最大值的应用

总结词

利用函数最大值求解最大利润问题，需要考虑成本、收益和市场需求等因素。

数学模型

利润函数=收入-成本，通过求导数或使用不等式等方法找到使利润最大的产量。

应用实例

某服装企业根据市场需求和生产成本，制定生产计划以最大化利润。

详细描述

在生产和销售过程中，企业需要最大化利润。通过建立成本、收益和市场需求与产量的函数关系，并求取该函数的最大值，可以确定最佳产量，从而实现最大利润。

应用实例

优化汽车发动机的设计以提高燃油效率。

总结词

在工程和设计中，利用函数最大值求解最大效率问题，以实现最优性能。

详细描述

在物理、化学和工程领域中，许多系统都有效率的限制。通过建立效率和相关参数的函数关系，并求取该函数的最大值，可以找到最优的工作点。

数学模型

效率函数=有用输出/总输入，通过求导数或使用不等式等方法找到使效率最大的参数值。

总结词

在资源有限的情况下，利用函数最大值进行资源分配以实现最优效益。

详细描述

在资源分配问题中，通常存在多个项目或任务需要完成，而资源有限。通过建立项目或任务的效益与资源需求的函数关系，并求取该函数的最大值，可以确定最佳的资源分配方案。

数学模型

效益函数=效益总和/资源总需求，通过求导数或使用不等式等方法找到使效益最大的资源分配方案。

应用实例

医院根据患者的病情和医疗资源的需求，合理分配医疗资源和医护人员。

04

函数最大值的性质

总结词

函数在闭区间上的最大值可能出现在区间的端点或内部极值点，但开区间上的最大值只能出现在端点。

详细描述

在闭区间上，由于函数可能存在极大值或极小值，这些点可能成为最大值的候选点。而在开区间上，由于没有区间端点的限制，函数的最大值只能出现在区间端点。

函数的最大值可能出现在极值点，但并非所有极值点都是最大值点。

总结词

极值点是函数局部最大或最小的点，如果某个极值点处的函数值大于其他所有点的函数值，则该极值点就是函数的最大值点。但并非所有极值点都能成为最大值点，只有当该点的函数值大于或等于其他所有点的函数值时，该点才是最大值点。

详细描述

05

函数最大值的实际例子

VS

投资回报率问题是一个常见的函数最大值应用场景，通过找到投资回报率的最大值，投资者可以优化投资策略。

详细描述

在投资领域，投资者通常面临多种投资选择，每种选择都有不同的预期回报率。通过使用函数表示这些投资选择和预期回报率之间的关系，投资者可以找到使回报率最大的投资组合。这需要求解函数的最大值，以确定最佳的投资策略。

总结词

生产成本问题涉及到如何最小化生产过程中的成本，这通常涉及到求解函数的最大值，以找到最佳的生产方案。

在生产过程中，企业需要采购原材料、租赁设备、雇佣工人等，这些都会产生成本。通过建立数学模型表示生产成本和生产量之间的关系，企业可以找到使成本最小的生产量，这实际上是求解函数的最大值问题。通过优化生产方案，企业可以提高生产效率、降低成本、增加利润。

总结词

详细描述

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