微专题之等和线知识讲解.docx

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微专题之平面向量基本定理系数的等和线

【适用题型】在平面向量基本定理的表达式中，研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。

【基本定理】

（一）平面向量共线定理

已知OA??OB??OC，若????1，则A,B,C三点共线；反之亦然

（二）等和线

平面内一组基底OA,OB及任一向量OP，OP??OA??OB(?,??R)，若点P在直线AB上或者在

B1BQPlAA1平行于AB的直线上，则????k（定值），反之也成立，我们把直线

B1

B

Q

P

l

A

A1

当等和线恰为直线AB时，k?1；

当等和线在O点和直线AB之间时，k?(0,1)；

当直线AB在点O和等和线之间时，k?(1,??)；

O

当等和线过O点时，k?0；

若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；

【解题步骤及说明】

1、确定等值线为1的线；2

2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；

3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；

说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和。

lC1

l

C1

C

例1、 给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角

B

为1200，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动。

若OC?xOA?yOB，其中x,y?R，则x?y的最大值

是 。 O A

跟踪练习：已知O为?ABC的外心，若cos?ABC?1，AO??AB??AC，则???的最大值为

3

例2、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，两定点A,B满足|OA|?|OB|?OA?OB?2，则点集

{P|OP??OA??OB,|?|?|?|?1,?,??R}所表示的区域面积为 .

例3、如图，在扇形OAB中，?AOB?600，C为弧AB上不与A,B重合的一个动点，

OC?xOA?yOB，若u?x??y (??0)存在最大值，则?的取值范围为 .

B

B

C

O A

跟踪练习：在正方形ABCD中，E为BC中点，P为以AB为直径的半圆弧上任意一点，设AE?xAD?yAP，则2x?y的最小值为 .

【强化训练】

1、在正六边形ABCDEF中，P是三角形CDE内（包括边界）的动点，设AP?xAB?yAF，则x?y

的取值范围 .

2、如图，在平行四边形ABCD中，M,N为CD边的三等份点，S为AM,BN的交点，P为边AB上的

一动点，Q为?SMN内一点（含边界），若PQ?xAM?yBN，则x?y的取值范围 .

D N M CQ

S

1 A 2 P B

3、设D,E分别是?ABC的边AB，BC上的点，AD?

AB，BE? BC，若DE??AB??AC

2 3 1 2

（?,?

为实数），则???

的值为 .

1 2 1 2

4、梯形ABCD中，AD?AB，AD?DC?1，AB?3，P为三角形BCD内一点（包括边界），

AP?xAB?yAD，则x?y的取值范围 .

OC?mOA?nOB，5、已知|OA|?1,|OB|? 3，OA?OB?0，点C在?AOB内，且?AOC?

OC?mOA?nOB，

m

则 的值为 .

n

6、在正方形ABCD中，E为AB中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设

AC?xDE?yAP，则x?y的最小值为 .

7、已知|OM|?|ON|?1，OP?xOM?yON(x,y为实数）。若?PMN为以M为直角顶点的直角三角形，则x?y 取值的集合为 。

8、平面内有三个向量OA,OB,OC，其中OA,OB夹角为1200，OA,OC的夹角为300，且|OA|?|OB|?1，

OC|?2 3| ，若OC?mOA?nOB，则m?n