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随机变量及其分布知识点整理

一、离散型随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量 X可能取的值为x,x

1 2

,???,x,???,x

i n

，X取每一个值x(i?1,2,???,n)的概率

i

P(X?x)?p

，则称以下表格

XP

X

P

x

1

p

1

x

2

p

2

…

…

x

i

p

i

…

…

x

n

p

n

为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列.

离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：

（1）P≥0,i?1,2,???,n （2）p?p?????p ?1

i 1 2 n

两点分布

如果随机变量X的分布列为

X

0

1

P

1-p

p

则称X服从两点分布，并称p=P(X=1)为成功概率.2．超几何分布

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件?X?k?发生的概率为：

CkCn?k

P(X?k)?

M N?M

Cn

N

,k?0,1,2,3,...,m

则随机变量X的概率分布列如下：

X

X

0

1

…

m

P

C0Cn?0

M N?M

Cn

N

C1Cn?1

M N?M

Cn

N

…

CmCn?m

M N?M

Cn

N

其中m?min?M,n?,且n?N,M?N,n,M,N?N*。

注：超几何分布的模型是不放回抽样二、条件概率

一般地，设A,B为两个事件,且P(A)?0,称P(B|A)?

P(AB)

P(A)

为在事件A发生的条件下,事件B发生的条

件概率.0≤P(B|A)≤1

如果B和C互斥，那么P[(BUC)|A]?P(B|A)?P(C|A)

三、相互独立事件

设A，B两个事件，如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响(即P(AB)?P(A)P(B)),则称事件

A与事件B相互独立。即A、B相互独立?P(AB)?P(A)P(B)

一般地，如果事件A1,A2,…,An两两相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概

率的积，即P(AA

...A

)?P(A)P(A

)...P(A).

1 2 n 1 2 n

注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；(2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响.

四、n次独立重复试验

一般地，在相同条件下，重复做的n次试验称为n次独立重复试验.

在n次独立重复试验中，记A是“第i次试验的结果”，显然，P(AA

???A

)?P(A)P(A

)???P(A)

i

“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响注:独立重复试验模型满足以下三方面特征

第一：每次试验是在同样条件下进行；第二：各次试验中的事件是相互独立的；

1 2 n 1 2 n

第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.n次独立重复试验的公式：

一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为

P(X?k)?Ckpk(1?p)n?k?Ckpkqn?k,k?0,1,2,...,n.(其中q?1?p)，而称p为成功概率.

n n

五、二项分布

一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则

P(X?k)?Ckpk(1?p)n?k，k?0,1,2,???,n

X0

X

0

1

…

k

…

n

P

C0p0qn

n

C1p1qn?1

n

…

Ckpkqn?k

n

…

Cnpnq0

n

此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p)，并称p为成功概率.

XPx

X

P

x

1

p

1

x

2

p

2

…

…

x

i

p

i

…

…

x

n

p

n

则称E(X)?xp

1 1

xp

2 2

?xp

i i

?xp

n n

为X的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.1．若Y?aX?b，其中a，b为常数，则Y也是变量

Y

Y

ax?b

1

ax?b

2

…

ax?b

i

…

ax?b

n

P

p

1

p

2

…

p

i

…

p

n

则EY?aE(X)?b