导数的定义及几何意义.pdf

导数的定义及⼏何意义

导数是微积分中重要的基础概念，源于曲线的割线与切线的关系。

↓↓↓↓↓如图↓↓↓↓↓

设M(x0,y0),N(x,y)，很明显，MN是割线，MT是切线。⼤家都知道两点确定⼀条直线，则割线MN的斜率kMN=tanφ=(y-

y0)/(x-x0)=(f(x)-f(x0))/(x-x0)，割线与切线之间的关系是：当点N沿着曲线C趋于点M时，即x→x0时，极限

若存在，那么此极限是割线MN斜率的极限，也就是切线的斜率，即kMT=tanα。

⾔归正传，我们专升本是以计算为主的，下⾯让我们⼀起学习导数定义以及⼏何意义在考试中的考查内容及相关题型的

解法吧！

◆◆◆

函数的导数定义

在上述表述中，若割线的斜率极限存在，则此极限值称为函数在点x0处的导数值，记为f(x0)或y(x0)，或y|x=x0，或

dy/dx|x=x0，三种符号中通常以前三种居多。即

定义注解：当点M沿着曲线C移动⾄点N时，函数值对应的变化量为Δy=f（x）-f(x0)=f(x0+Δx)-f(x0)⾃变量的变化量为

Δx，所以导数的定义⼜可以定义为

，其中增量Δx也可⽤其他字母来表⽰。此种导数定义形式多⽤于选择填空题。

1

设函数f(x)在x=α处可导，则()

A.3f(α)B.f(α)C.-f(α)D.-3f(α)

例题讲解：选择填空中若条件是导数，结论是求某个分式极限的题⽬，⼀般都是对导数定义的考察，只需凑出导数定义

的特点即可。特点是分⼦上前⾯的⾃变量减去后⾯的⾃变量结果为分母。在本题中，

，故选A

2

设函数f(x)在x=0处可导，则()

A.0B.-2f(0)C.f(0)D.2f(0)

▼

◆◆◆

导数的⼏何意义

由上图可知，f(x0)在表⽰曲线y=f(x)在切点M(x0,f(x0))处切线的斜率。由直线点斜式⽅程可知切线⽅程为：y-y0=f(x0)(x-

x0)，两条互相垂直的直线的斜率之积为-1，⽽切线与法线垂直，故法线⽅程为：y-y0=-1/f(x0)*(x-x0)(f(x0)≠0）

3

求曲线f(x)=lnx在点(1,0)处的切线⽅程与法线⽅程。

解：f(x)=1/x，切点为(1,0)∴k切=f(1)=1,k法=-1

由直线点斜式⽅程知，切线⽅程为：y-0=1*(x-1)，即y=x-1

法线⽅程为：y-0=-1*（x-1），即y=-x+1

4

求曲线f(x)=ex在点(0,1)处的切线⽅程。

▼

解：f(x)=ex，切点为(0,1)∴k切=f(0)=1

由直线点斜式⽅程知，切线⽅程为：y-1=1*(x-0)，即y=x+1

亲爱的童鞋们，你们get到本次讲解的要点了吗？下⾯是⾼数中很重要的导数的基本求导公式，⼤家先背起来。下次⼩

编要讲解的内容要⽤到这些公式的哦！

基本求导公式

联系我们：

400-871-9993

0571