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第二章章末复习
学习目标:
1.讨论两直线的平行、垂直关系,可以提升学生的逻辑推理素养.
2.两直线的交点与距离问题,培养学生的数学运算的核心素养.
3.研究直线与圆的位置关系,集中体现了直观想象和数学运算的核心素养.
4.圆与圆的位置关系的转化,体现直观想象、逻辑推理的数学核心素养.
方法要点:
1一般式方程下两直线的平行与垂直:
已知两直线的方程为:(不同时为0),:(不同时为0),则且.
2
3直线与圆问题的类型
(1)求切线方程:可以利用待定系数法结合图形或代数法求得.
(2)弦长问题:常用几何法(垂径定理),也可用代数法结合弦长公式求解.
4两圆的公共弦问题
(1)若圆:与圆:相交,则两圆公共弦所在直线的方程为.
(2)公共弦长的求法
①代数法:将两圆的方程联立,解出交点坐标,利用两点间的距离公式求出弦长.
②几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形,根据勾股定理求解.
典型例题:
题组一、两直线的平行与垂直
例1已知四点,若直线与直线平行,则________.
变式已知直线:,:.若,则实数a的值为________.
题组二、两直线的交点与距离问题
例2过点作直线l使它被直线:和:截得的线段被点P平分,求直线l的方程.
变式已知直线l过直线:与直线:的交点,且点到直线l的距离为2,则这样的直线l的条数为()
A.0B.1C.2D.3
题组三、直线与圆的位置关系
例3已知直线l:和圆C:.
(1)时,证明l与C总相交;
(2)m取何值时,l被C截得的弦长最短?求此弦长.
变式已知圆C关于直线对称,且过点和原点O.
(1)求圆C的方程;
(2)相互垂直的两条直线,都过点,若,被圆C所截得的弦长相等,求此时直线的方程.
题组四、圆与圆的位置关系
例4已知圆:与圆:.
(1)证明圆与圆相切,并求过切点的两圆公切线的方程;
(2)求过点且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程.
变式已知圆:与圆:.
①求证:两圆相交;
②求两圆公共弦所在直线的方程.
当堂检测:
1.设,直线和圆相切,则a的值为________.
2.在平面直角坐标系中,点A在圆C:上,点P的坐标为,则的最小值为________.
3.已知点C在直线l:上,点,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若,则圆的方程为________________.
4.如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥(是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路.规划要求:线段上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为和(C,D为垂足),测得(单位:百米).
(1)若道路与桥垂直,求道路的长;
(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由.
参考答案
例1.【答案】3
【解析】
【分析】
【详解】,
当,即时,
,的斜率不存在.
∴和不平行;
当时,.
由,得,即.
∴或.
当时,,
∴与平行.
当时,,
∴与重合.
∴当时,直线和直线平行.
变式【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
例2.【答案】
【解析】
【分析】
【详解】设与l的交点为,
则由题意知,点A关于点P的对称点在上,
代入的方程得,
解得,即点在直线l上,
所以直线l的方程为.
变式【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】方法一由得
即直线l过点.设点,因为,
所以满足条件的直线l有2条.故选C.
方法二依题意,设经过直线与交点的直线l的方程为,即.由题意得,化简得,
解得或,代入得直线l的方程为或,故选C.
例3.【答案】(1)直线l与圆C总相交,证明见详解;(2)当时,l被C截得的弦长最短,最短弦长为
【解析】
【分析】
【详解】(1)证明直线的方程可化为,
由点斜式可知,直线恒过点.
由于,
所以点P在圆内,故直线l与圆C总相交.
(2)圆的方程可化为.
如图,当圆心到直线l的距离最大时,线段的长度最短.
此时,
又,所以直线l的斜率为,
则,所以.
在中,.
所以.
故当时,l被C截得的弦长最短,最短弦长为.
变式【答案】(1)(2)或
【解析】
【分析】
【详解】(1)由题意知,直线过圆C的圆心,设圆心.
由题意,得,
解得.
因为圆心,半径,
所以圆C的方程为.
(2)由题意知,直线,的斜率存在且不为0,
设的斜率为k,则的斜率为,
所以:,即,
:,即.
由题意,得圆心C到直线,的距离相等,
所以,解得,
所以直线的方程为或.
例4.【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
【详解】解(1)把圆与圆都化为标准方程形式,得.
圆心与半径长分别为;
.
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