数学无穷小无穷大.pdfVIP

第一章

第四节

无穷小与无穷大

一、无穷小

二、无穷大

三、无穷小与无穷大的关系

一、无穷小

定义1.若时,函数则称函数

(或x→

为)

时的无穷小.

(或x→

例如:

函数当时为无穷小;

函数当时为无穷小;

函数当时为无穷小.

定义1.若(或x→)时,函则

数

则称函数为

(或x→)时

的无穷小.

说明:除0以外任何很小的常数都不是无穷小!

定理1.(无穷小与函数极限的关系)



limf(x)Af(x)A+,其中为x→

x→x0时的无穷小量.

证:limf(x)A

x→x0

0,0,当0x−x0时,有

f(x)−A

f(x)−Alim0

x→x0

对自变量的其他变化过程类似可证.

二、无穷大

定义2.若任给M>0,总存在(正数X),使对

一切满足不等式(xX)的x,总有

①

则称函数当(x)时为无穷大,记作

(limf(x)).

x

若在定义中将①式改为(f(x)−M),

则记作(limf(x)−)

xx0

(x)

注意:

1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.

2.函数为无穷大,必定.但反之不真!

例如,函数