培优专题二与三角形有关的角资料.docx

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专题2 与三角形有关的角

一、三角形内角和定理：

A

二、三角形外角的性质：

如图，∠ACD是△ABC的外角，

则：①∠ =∠ +∠ ；

或∠=∠—∠；或∠=∠—

或∠

=∠

—∠

；

或∠

=∠

—∠

。

② 或

基本图形介绍： A B

1、对顶三角形：

①如图，AD、BC相交于O，求证：∠A+∠B=∠C+∠D O

D

C

A

②如图，AD、BC相交于O，BP、DP分别平分∠ABC、∠ADC， B

1 O

E求证：∠P=2（∠A+∠C）

E

P

D

C

A

2、“飞镖”形：

①如图，求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C

D

C

B

1 A

②如图，BP、CP分别平分∠ABD、∠ACD，求证：∠P=2（∠A+∠D）

P

CD

C

B

3、三角形内外角平分线问题：

1

2①如图，△ABC中，P是△ACB的角平分线的交点，求证：∠BPC=90°+ ∠A

2

PA

P

只供学习与交流 B C

②如图，△ABC中，P是∠ABC的角平分线和△ABC的外角∠ACE的角平分线的交点。

P1 A

P

求证：∠BPC= ∠A

2

B C E

BA

B

③如图，△ABC中，P是外角∠EBC与∠BCF的角平分线的交点。

1

求证：∠BPC=90°- ∠A

2

C

E

F

光的反射问题可转化为角平分线问题：

①由光的反射原理：∠1=∠2

又因为∠1=∠3，所以∠2=∠3，所以MD平分∠BMC。

②作法线MN，则MN平分∠AMB

4、一角平分线问题：

①在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C∠B

1

P N

B

1 2

E M 3 DC

A

求证：(1)∠ADC=90°-

2

1

(∠C—∠B)

D C E

(2)∠ADC= (∠ACE+∠B)

2

1②在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，求证：∠EAD= (∠C—∠B) A

1

2

B D E C

拓展：①在△ABC中，AD平分∠BAC，P是AD延长线上一点，过P作PE⊥BC，A

1

求证：∠EPD=

2

(∠C—∠B)

E

只供学习与交流 B D C

P

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只供学习与交流

只供学习与交流

拓展：②在△ABC中，AD平分∠BAC，P是BC延长线上一点，过P作PE⊥AD，

E1 A

E

求证：∠EPD=2(∠C—∠B)

B D C P

5、直角三角形斜边上的高的问题：

①如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，求证：∠1=∠A；∠2=∠B

1 2

1 2

A D B

②如图，△ABC中，∠BCA=90°，CD⊥AB，AF平分∠BAC，求证：∠CFE=∠CEF

FE

F

E

6、翻折问题：

如图，将三角形沿直线DE翻折使点A在△ABC的内部得A，

1

A D B

A

D

求证：∠A=2（∠1+∠2） 1 E

2

A

B C

巩固练习：

1 1

1、在△ABC中，∠A=2∠B=3∠C，则此三角形是（ ）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形

2、如图，△ABC中，∠B=∠C，点D在AB上，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，若∠BDE=140°，

那么∠DEF是（

）

A、55°

B、60°

C、65°

D、70°

3、如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）

A、59° B、60° C、56° D、22°

4、如图，△ABC中，∠A=???，∠B=?，∠C=???，（0?????90）若∠BAC与

∠BCA的平分线交于P点，则∠APC是（ ）

A、90°B、105°C、120°D、150°第2题 第

A、90°

B、105°

C、120°

D、150°

5、如图，已知E、F是△ABC的边AB、AC上的点，△AEF沿EF折叠，并使点A落在四边形EBCF内，∠BEG=20°，∠CFG=86°，那么∠A是（ ）

A、52° B、53° C、54° D、60°

6、等腰三角形的某个内角的外角是130°，那么这个三角形的三个内角的大小是（ ）

A、50°，50°，80° B、50°，50°，80°或130°，25°，25°C、50°，65°，65° D、50°，50°，80°或50°，65°，65°

7、已知：△ABC中，∠A=66°，△ABC的高BE、CF所在直线相交于点G，则∠B