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专题3.19用勾股定理解决面积问题(分层练习)
1.如图,在中,,,,以AB为一条边向三角形外部作正方形,则正方形的面积是(????)
A.13 B.12 C.6 D.3
2.如图,以一个直角三角形的三边为直径作3个半圆,若半圆B、C的面积分别是4、5,则半圆A的面积是(????)
A.1 B.3 C. D.9
3.中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一,中国古代称直角三角形为勾股形,较短的直角边称为勾,另一直角边称为股,斜边称为弦,其中勾长、股长的平方和等于弦长的平方,即为“勾股定理”,勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠,在几何问题中有着广泛的应用.
如图,在直线l上依次摆放着五个正方形.已知斜放置的两个正方形的面积分别是2、3,正放置的三个正方形的面积依次是,则()
A.4 B.5 C.6 D.7
4.如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形,若大正方形的面积41,小正方形的面积是1,设直角三角形较长的直角边为b,较短的直角边为a,则的值是(????)
A.9 B.8 C.7 D.6
5.如图,,正方形和正方形的面积分别是289和225,则以为直径的半圆的面积是()
A. B. C. D.
6.如图,以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆,若较小的两个半圆面积、分别为5和11,则较大的半圆面积为(????)
A.6 B.11 C.16 D.18
7.三国时期的赵爽利用图1证明了勾股定理,后来日本的数学家关孝和在“赵爽弦图”的启发下利用图2也证明了勾股定理.在图2中,E,B,F在同一条直线上,四边形,,都是正方形,若正方形的面积等于100,面积等于,且已知,则的面积等于()
A. B.39 C. D.52
8.如图,正方形的边长为2,其面积标记为,以为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为……按照此规律继续下去,则的值为(????)
A. B. C. D.
9.已知中,,,,为斜边上的中点,是直角边上的一点,连接,将沿折叠至,交于点,若的面积是面积的一半,则为(????)
A. B. C. D.
填空题
10.如图,在,,以的三边为边向外作正方形,正方形,正方形,P是上一点,记正方形和正方形的面积分别为,,若,,则四边形的面积等于________.
11.在中,,,,则这个直角三角形的面积是____.
12.请你仔细观察下面一组图形,依据其变化规律推断第(5)个图形中所有正方形面积之和为____________(其中图中出现的三角形均是直角三角形,四边形均是正方形).
13.如图1是伸缩式雨棚的实物图,由骨架与伞面两部分组成,可抽象成矩形ABCD(如图2),其中实线部分表示雨棚的骨架,矩形ABCD为雨棚的伞面,CD固定不动,当横杆AB自由伸缩时,骨架与伞面也跟着伸缩,伸缩过程中伞面ABCD始终是矩形.若点D,G,E在一条直线上时,雨棚伞面面积最大.现测得AB=5m,DG=CH=2m,GE=HF=1.5m,AE=BF=0.5m.
(1)当雨棚伞面面积最大时,AD=______m;
(2)当∠DGE=90°时,雨棚伞面的面积等于______.
14.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系,其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值.如图所示,是一棵由正方形和含角的直角三角形按一定规律长成的勾股树,树的主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为,第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为,…,第个正方形和第个直角三角形的面积之和为.
设第一个正方形的边长为1.
请解答下列问题:
(1)______.
(2)通过探究,用含的代数式表示,则______.
15.如图,在中,,点是边上一动点,交于点,当时,的面积恰好等于的面积,连接,则此时=_______
16.如图,将放在每个小正方形的边长为1的网格中,点均落在格点上.
(1)的面积等于________.
(2)请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,过点画一条直线,交于点,使的面积等于面积的3倍,并简要说明画图的方法__________.(不要求证明)
17.如图,图1中是第七届国际数学教育大会(ICME-7)会徽图案、它是由一串有公共顶点O的直角三角形(如图2)演化而成的.如果图2中的,若代表的面积,代表的面积,以此类推,代表的面则的值为________.
18.如图所示,四边形ADEF为正方形,ABC为等腰
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