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《九章算术》中的立体几何

《九章算术》文字古奥，历代注释者甚多，其中以刘徽的注本最为有名.刘徽是我国魏晋时期著名数学家，他在曹魏末年撰成《九章算术注》九卷。在继承的基础上，又提出了许多自己的创见与发明，刘徽的观点，对现今的数学有很多借鉴的地方。

《九章算术》是一部问题集，全书分为九章，共收有246个问题，每题都有问、答、术三部分组成。内容涉及算术、代数、几何等诸多领域，并与实际生活紧密相连，充分体现了中国人的数学观与生活观。其中卷第五“商功”，主要讲各种几何体体积的计算，包括现阶段高中数学教材中的棱柱、棱锥、棱台，圆柱、圆锥、圆台，或可化为上述几何体的几何体体积的计算。

《九章算术》是东方数学的思想之源，也是我国多年来各级各类考试的重要题库。卷第五商功”第25题作为2015年全国卷（1）（文理）第6题，通过古题新解考查阅读理解能力，通过圆锥体积的计算考查空间想象能力与求解运算能力。

题目是:《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的

四分之一），米堆底部的孤长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为 jK-或/

1.62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放的米约有（解法见矗拿一木耳.

A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛

2015年湖北理科19题、文科20题选用《九章算术》“商功”第16题“阳马”与第17题“鳖臑”的组合考查立体几何中线、面间的位置关系与度量关系.

《九章算术》卷第五“商功”共收录28个题目，现将这28个问题整理如下，供参考。

【例1】今有穿地积一万尺.问为坚、壤各几何？

【注释】穿地：挖地取土.坚：坚实的土.壤：松软的土.

【译文】现挖地体积为1000立方尺，问换算成坚土、松土各多少？

【解析】本题是各种土方量的换算，有专门的换算比例，这里不赘述.

【说明】从例2到例7都是直四棱柱求体积问题，以例2为例，介绍它们的算法.【例2】今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。问积几何？【注释】广袤：广，东西方向，袤，南北方向.

【译文】现有城，下底长4丈，上底长2丈，高5丈，

纵长126丈5尺.问这段城的体积是多少？

【解析】本题是求水平放置的直四棱柱的体积.如图，底面为等腰梯形，上底a=20尺，下底b=40尺，高h=50尺，侧棱l=1265尺，所求体积

V=S?h=Qh.1=（2。+40）X5。x1265=1897500立方尺.

2

【例3】今有垣下广三尺，上广二尺，高一丈二尺，袤二十二丈五尺八寸.问积几何？

【注释】垣：低矮的墙.

【译文】现有矮墙下底长3尺，上底长2尺，高1丈2尺，纵长22丈5尺8寸.问这段矮墙的体积是多少？

【例4】今有堤下广二丈，上广八尺，高四尺，袤一^二丈七尺.问积几何？

【译文】现有坝堤下底长2丈，上底长8尺，高4尺，纵长12丈7尺.问这段坝堤的体积是多少？

【例5】今有沟上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈.问积几何？

【译文】现有沟，上底长1丈5尺，下底长1丈，高5尺，纵长7丈.问这段沟的容积是多少？

【例6】今有堑上广一丈六尺三寸，下广一丈，深六尺三寸，袤一十三丈二尺一寸.问积几何？

【注释】堑:护城河

【译文】现有护城河上底长1丈6尺3寸，下底长1丈，深6尺3寸，纵长13丈2尺1寸.问这段护城河的容积是多少？

【例7】今有穿渠上广一丈八尺，下广三尺六寸，深一丈八尺，袤五万一千八百二十四尺.问积几何？

【译文】现挖渠上底长1丈8尺，下底长3尺6寸，深1丈8尺，纵长5万1千8百24尺.问这段渠的容积是多少？

【例8】今有方堡埼方一丈六尺，高一丈五尺.问积几何？

【注释】堡埼:土筑小城.方堡埼：正四棱柱形的土筑小城堡.

【译文】现有正四棱柱形的土筑小城堡，底面边长为1丈6尺，高1丈5尺，问它的体积是多少？

【解析】本题是求正四棱柱的体积.底面正方形，边长a=16尺，高h=15尺，所求体积V=S-h=a-a-h=16x16x15=3840立方尺.

【例9】今有圆堡埼，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？

【注释】圆堡埼：圆柱形的土筑小城堡.

【译文】现有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的

体积是多少？

【解析】本题是求圆柱的体积.设底面圆的半径为r，周长c,高h,因为c=2兀r,

所以r=^―,贝。所求体积V=S-h=兀r2-h=———=——=2112(取兀=3)立方2兀 4兀 12