高升本课程复习资料-线性代数-第三套练习题目.docVIP

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第三套练习

1、设α=（a1，a2，…，an）T，（a1≠0，n＞1），A＝ααT求A的特征值和特征向量.

2、设三阶方阵A的特征值为1，－2，3，矩阵B＝A2－2A

①B的特征值；

②B是否可对角化，若可以，试写出其相似对角形矩阵；

③求|B|

3、设n阶方阵A有n个特征值0，1，2，…，n－1且方阵B与A相似，求|E+B|.

4、设有3阶方阵A满足A3-5A2+6A=O，且TrA=5，|A|=0，试求A的特征值，并判定

5、设A＝与B＝相似，

求a，b；

6、设矩阵相似于∧,

求①a；

②可逆矩阵P和对角矩阵∧，使P-1AP=∧.

7、证明题

设实方阵A满足ATA=E，试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1.

8、设A为n阶实方阵，α为A的对应于特征值λ的特征向量，β为AT的对应于特征值μ的特征向量，且λ≠μ，证明α与β正交.

9、设A是n阶正交矩阵，且|A|＝－1，证明－1是A的一个特征值.

10.求矩阵的特征值和特征向量.

11.设A＝与B＝相似，

1）求a，b；

2)求一个可逆矩阵C，使C－1AC＝B

12.试求三阶正交矩阵Q，使正交变换x=Qy能将二次型化成标准形.

13设二次型f=4x12+3x22+2x2x3+3x32

①求一个正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换；

②用配平方法将二次型化为标准形，并写出所用的可逆线性变换.

14.问取何值时，二次型为正定二次型？

15设方阵A满足ATA=E，试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1.

16设A为n阶方阵，α为A的对应于特征值λ的特征向量，β为AT的对应于特征值μ的特征向量，且λ≠μ，证明α与β正交.

17设A是n阶正交矩阵，且|A|=－1，证明:－1是A的一个特征值.

18设、是两个阶矩阵，且有个两两不相等的特征值，试证：（1）的每个特征向量必是的特征向量，（2）一定可对角化.

第三套练习

1、解由定义Aα＝ααTα=（a12+a22+…+an2）α，而R（A）=1，所以A的特征值为λ1=a12+a22+…+an2和λ2=λ3=…=λn=0。

当λ2=λ3=…=λn=0时，由Ax=0得

A的特征向量为

当λ1=a12+a22+…+an2时，A的特征向量为α=（a1，a2，…，an）T。

2、答案解①当A的特征值为：1，-2，3时，B的特征值为：-1，8，3；

②因B有三个各不相同的特征值，所以B可对角化；

且对角化得

；

③|B|

3、答案解由于B+E的特征值1，2，…，n。所以|B+E|=n!。

4、答案

解设A的特征值为λ，其对应的特征向量为x，所以A3x-5A2x+6Ax=0从而λ3x-5λ2x+6λx=0即(λ3-5λ2+6λ)x=0得λ=0,2,3，由于TrA=5，，所以A的特征值为0，2，3。由于A的特征值各不相同，故A能相似于对角矩阵。

5、答案解由相似阵，其行列式相等，|A|=2b

且A的迹等于A的特征值之和a+5=b+3，

a=3,b=5；

6、答案

解由|A-λE|=0，得A的三个特征值λ1=λ2=6，λ3=-2。

对λ1=λ2=6，由于A相似于对角矩阵，R（A-6E）=1，即

显然，当a=0时，R（A-6E）=1，A的二重特征值6应对应两个线性无关的特征向量。于是对应于λ1=λ2=6的两个线性无关的特征向量可取为

当λ3=-2时，取对应的特征向量为

。

令，则P可逆，并有P-1AP=。

7、答案

证设α为A的对应于实特征值λ的特征向量，则有Aα=λα，从而有αTAT=λαT，由此得αTATAα=λ2αTα，又ATA=E，于是有（λ2-1）αTα=0，而α≠0，所以λ2-1=0，故|λ|=1。

8、答案

证依题意得Aα=λα，ATβ=μβ，将Aα=λα的两边转置得，αTAT=λαT，在上式的两边右乘β得，αTATβ=λαTβ，即μαTβ=λαTβ，亦即（μ-λ）αTβ=0，由于λ≠μ，所以αTβ=0，故α与β正交。

9、答案

证因为|A+E|=|A+AAT|=|A（E+A）T|=-|E+A|，

所以|A+E|=0，故－1是A的一个特征值。

10.解的特征多项式为

所以是的3重特征根.

解方程，得基础解系

所以对应于特征根的全部特征向量为其中不全为零.

11.解1)由|A|=2b

A的迹等于A的特征值之和a+5=b+3，得a=3,b=5；

2)由A的特征值为1，2，5，求A的特征向量α1，α2，α3并拼成矩阵

12解，对应