24版高中同步新教材必修第二册苏教数学备课资源-10.1　两角和与差的三角函数.pptxVIP

10.1两角和与差的三角函数1|两角和与差的余弦、正弦、正切公式知识点必备知识清单破名称公式简记符号适用条件记忆方法两角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβC(α-β)α,β∈R同名相乘,符号反两角和的余弦公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβC(α+β)

两角和的正弦公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβS(α+β)α,β∈R异名相乘,符号同两角差的正弦公式sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβS(α-β)两角和的正切公式tan(α+β)=?T(α+β)α,β,α+β≠kπ+?(k∈Z)分子同,分母反(指等号左右两

边的符号规律)两角差的正切公式tan(α-β)=?T(α-β)α,β,α-β≠kπ+?(k∈Z)

2|辅助角公式知识点????asinx+bcosx=?sin(x+θ)(a,b不同时为零),其中cosθ=?,sinθ=?.

知识辨析1.是否存在α,β,使得cos(α-β)=cosα-cosβ?2.是否存在α,β,使得sin(α-β)=sinα-sinβ?3.对于任意的α,β,tan(α+β)=?是否恒成立?

一语破的1.存在.例如α=?,β=?.2.存在.例如α=0,β=0.3.不是.公式成立的条件为α,β,α+β≠?+kπ(k∈Z).

1|辅助角公式的应用定点关键能力定点破1.我们在研究三角型函数的图象与性质时,通常将解析式通过适当三角变换,转化为y=Asin(ω

x+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式,在这个过程中通常会用到辅助角公式,运用辅助角公式的前提

条件有三个:①同角(均为x);②齐一次(均为一次的);③正余全(一个是sinx,另一个是cosx),具

体化为正弦还是余弦,要根据具体条件而定,一般要求变形后x的系数为正,这样更有利于研究

函数的性质.

2.辅助角公式的常见情形(1)sinα±cosα=?sin?;(2)sinα±?cosα=2sin?;(3)cosα±?sinα=2sin?.

典例已知函数f(x)=2sin?-2cosx,x∈?,求函数f(x)的值域.解析????f(x)=2sin?-2cosx=?sinx-cosx=2sin?,因为?≤x≤π,所以?≤x-?≤?,所以?≤sin?≤1,所以1≤f(x)≤2.故函数f(x)的值域为[1,2].

2|两角和与差的正弦、余弦公式的应用定点1.给角求值解决给角求值问题时,一般先用诱导公式把角化整化小,再统一函数名称(即弦切互化,通

常是切化弦),最后观察角之间的关系以及式子的结构特点,从整体出发,利用公式或公式的变

形达到求值的目的.

2.给值求值(1)应先分析角的关系,再考虑三角函数名称的联系,最后选择合适的公式求值.(2)分析已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,利用角的代换化异角为同

角,具体做法:当已知角有两个时,所求角一般表示为两个已知角的和或差的形式;当已知角有

一个时,应着眼于所求角与已知角的和或差的关系,然后应用公式把所求角变成关于已知角

的式子.常见的角的拆分与组合:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β=(α-β)+β,?+?=?等.(3)此类问题中,角的范围的限定不容忽视,解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围.

3.给值求角已知三角函数值求角,通常是由“值”+“范围”求角,其解题步骤如下:(1)根据条件确定所求角的范围;(2)求所求角的某种三角函数值(为防止产生增根,最好选取在上述范围内单调的三角函数);(3)结合三角函数值及角的范围求角.

典例(1)已知sinα=?,sinβ=?,且α和β均为钝角,求α+β的值;(2)已知cos?=?,sin?=-?,α∈?,β∈?,求sin(α+β)的值.解析????(1)∵α和β均为钝角,sinα=?,sinβ=?,∴cosα=-?=-?,cosβ=-?=-?.∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=?×?-?×?=?.由α和β均为钝角,得πα+β2π,∴α+β=?.

(2)∵?α?,∴-??-α0.又cos?=?,∴sin?=-?=-?.∵?β?,∴??+β?.又sin?=-?,∴cos?=-?=-?.∵?+β-?=?+α+β,∴sin(α+β)=sin?

=-cos?=-cos?cos?-sin?sin?=?×?-?×?=?-?=-?.

3|两角和与差的正切公式的应用定点1.常值代换在应用两角和与差的正切公式时,若出现1,?等常数,则常利用1=tan?,?=tan?等将其代换,以达到化简求值的目的.2.