高中数学 4.5.2 二分法 课件.pptxVIP

4.5.2用二分法求方程的近似解

高一上学期

在24枚崭新的金币中，混入了一枚外表相同但重量较轻的假币，现在只有一台天平，请问：需要称几次就可发现这枚假币？

“假币”的发现

第一次

假

假

第二次

第三次

第四次

思想:一分为二,逐步缩小范围,逼近准确值

思考1：你能确定下列方程的解的个数及解所在区间吗？

思考2：你能求出上述函数f(x)的零点的准确值吗？

思考3：你能求出函数f(x)=lnx+2x-6的零点近似值吗？

思考3：你能求出函数f(x)=lnx+2x-6的零点近似值吗？

区间精确度为ε：

区间左端点

函数值f(a)

区间右端点

函数值f(b)

零点所在区间

零点近似值

f(2)0

f(3)0

区间中点

函数值f(c)

f(2.5)0

f(2.5)0

f(3)0

f(2.75)0

f(2.5)0

f(2.75)0

f(2.625)0

2.5

2.75

2.625

f(2.5)0

f(2.625)0

f(2.5625)0

2.5625

零点

所在

范围

越来

越小

零点所在区间

中点的值

中点函数近似值

0.215

0.066

-0.009

0.029

0.010

0.001

区间精确度为0.01

练习：用二分法求函数f(x)在区间(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结果计算的条件是()

A．|a－b|0.1B．|a－b|0.001C．|a－b|0.001D．|a－b|＝0.001

解析：由二分法求近似值的步骤4，其精确度为0.001，应满足的条件为

|a－b|0.001，故选B.

B

A

思考：所有函数的零点都可以用二分法来求近似值.

①③

①在[a,b]上连续不断；

②f(a)·f(b)＜0.

即：有变号零点

×

×

×

3、设f(x)＝lgx＋x－3，用二分法求lgx＋x－3＝0在(2，3)内近似解的过程中得f(2.25)＜0，f(2.75)＞0，f(2.5)＜0，f(3)＞0，则方程的根在区间()

A．(2，2.25)B．(2.25，2.5)C．(2.5，2.75) D．(2.75，3)

C

C

a2＝4b

当堂检测

解析：∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，∴函数f(x)＝x2＋ax＋b图象与x轴相切．∴Δ＝a2－4b＝0.∴a2＝4b.

解析：因为f(2.5)＜0，f(2.75)＞0，由零点存在定理知，方程的根落在区间(2.5，2.75).故选C.

6、在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称___次就可以发现这枚假币．

解析：将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则质量小的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．

关注社会民生强调学以致用

4

第一次

假

第二次

第三次

假

假

第四次

n分法的比较

用二分法寻找函数零点的过程，就是一个“精益求精”的收敛的过程.

问题1：为什么用二分法，而不用三分法、四分法…？

在“最不利原则”下，每试验一次

二分法

三分法

四分法

逐一法

排查范围缩小为原来的

最优策略（效率最高）

收敛速度

理论拓展

“二分法”因其简单高效，在生产生活中的应用非常广泛，比如检修线路故障、血液检测标本、查找次品、猜数问题等。

理论拓展