专题02 特殊三角形（知识串讲+热考题型+真题训练）（解析版）.docx

专题02特殊三角形

【考点1】轴对称图形

【考点2】轴对称的性质

【考点3】利用轴对称设计图案．

【考点4】作图﹣轴对称变换．

【考点5】作图-最短路线问题

【考点6】等腰三角形的性质

【考点7】等腰三角形的判定．

【考点8】等腰三角形的判定与性质

【考点9】逆命题和逆定理

【考点10】直角三角形的性质

【考点11】勾股定理．

【考点12】勾股定理的证明．

【考点13】勾股定理的逆定理．

【考点14】勾股数．

【考点15】勾股定理的应用．

【考点16】平面展开﹣最短路径问题．

知识点1轴对称图形

⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴.

注意：

1.轴对称图形的对称轴是一条直线，

2.轴对称图形是1个图形，

3.有些对称图形的对称轴有无数条。

⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴.

⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这

条线段的垂直平分线.

知识点2轴对称性质

对称的性质：

①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线.

②关于某直线对称的两个图形是全等形.

知识点3画轴对称图形

（1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA，使OA=OA，则点A是点A的对称点；

（2）同理分别作出其它关键点的对称点；

（3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形.

知识点4轴对称之最短路径问题

基本图模

1.

已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；

要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小

解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,

PA+PB的最小值即为线段AB的长度

理由：在l上任取异于点P的一点P′，连接AP′、BP′，

在△ABP’中，AP′+BP′AB，即AP′+BP′AP+BP

∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.

已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧

要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小

（或△ABP的周长最小）

解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，

点P即为所求；

理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA′的中垂线，

由中垂线的性质得：PA=PA′，要使PA+PB最小，则

需PA′+PB值最小，从而转化为模型1.

方法总结：

1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.

知识点5等腰三角形的概念与性质

等腰三角形概念

有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．

2.等腰三角形的性质

如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．

知识点2等腰三角形的判定

如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.

要点诠释：

(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.

（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．

知识点6直角三角形

①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如Rt△ABC。

②有两个角互余的三角形是直角三角形

知识点7勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.

注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

理解勾股定理的一些变式：

，，.

运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；

2.用于解决带有平方关系的证明问题；

3.利用勾股定理，作出长为的线段

知识点8勾股定理证明

方法一：将四个全等的直角三