几类常见递推数列的解法.docx

几类递推数列通项公式的常见类型及解法

江西省乐安县第二中学 李芳林 邮编344300

已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大约分为两类：一类是根据前几项的特点归纳猜想出a 的表达式，然后用数学归纳法证明；另一类是将已知递推关系，用代数法、迭代

n

法、换元法，或是转化为基本数列（等差或等比）的方法求通项．第一类方法要求学生有一定的观察能力以及足够的结构经验，才能顺利完成，对学生要求高．第二类方法有一定的规律性，只需遵循其特有规律方可顺利求解．在教学中，我针对一些数列特有的规律总结了一些求递推数列

的通项公式的解题方法．

一、a

n1

a d型

n

形如a

n1

a d（d为常数）的递推数列求通项公式，将此类数列变形得

n

a a

n1 n

d，再由等差数列的通项公式a a

n 1

n 1d可求得a.

n

例1：已知数列a 中a 2,a a 3 n N ，求a的通项公式.

n 1 n1 n n

解：∵a a 3 ∴a a 3

n1 n n1 n

∴ a 是以a

n 1

2为首项，3为公差的等差数列.

∴a 2 n 13 3n 1为所求的通项公式.

n

二、a a

n1 n

f(n)型

形如a ＝a +f(n)，其中f(n)为关于n的多项式或指数形式（an）或可裂项成差

n1 n

的分式形式．——可移项后叠加相消．

例2：已知数列｛a ｝,a＝0,n∈N ，a ＝a ＋（2n－1），求通项公式a ．

n 1 n1 n n

解：∵a =a ＋（2n－1）

n1 n

∴a =a ＋（2n－1）∴a －a =1、a－a =3、…… a －a =2n－3

n1 n 2 1 3 2 n n1

∴a =a

n 1

1

＋(a

2－a1

)＋(a－a

3 2

)＋…＋(a

n

－a )=0＋1＋3＋5＋…＋(2n－3)

n1

= [1＋(2n－3)](n－1)=(n－1)2 n∈N

2

三、a

n1

qa型

n

形如a

n1

a

qa（q为常数）的递推数列求通项公式，将此类数列变形得

n

n1 q，再由等比数列的通项公式a

a n

n

a qn1可求得a.

1 n

例3：已知数列a

n

中满足a=1，a

1 n1

2a，求

an n

a

的通项公式.

解：∵a 2a

n1 n

∴an1 2

a

n

∴ a 是以a 1为首项，2为公比的等比数列.

n 1

∴a 2n1为所求的通项公式.

n

四、a

n1

f(n)a型

n

a

(mn b)p

形如a

n1

f(n)a

n

a

可转化为 n1

a

n

a

f(n).其中f(n)=

(mn c)p

（p≠0，m≠0,b–c

=km,k∈Z）或

n1=kn（k≠0）或

a

n

n1=km

a

n

n(k≠0,0＜m且m≠1)．

例4：已知数列｛a

n

｝,a

1

=1，a

n

＞0,(n＋1)a

n1

2－na

n

2＋a a

n1 n

=0，求a ．

n

解：∵(n＋1)a

n1

2－na

n

2＋a a

n1 n

=0 ∴[(n＋1)a

n1

－na

n

](a ＋a

n1 n

)=0

∵ a ＞0 ∴a ＋a

n n1 n

a n

＞0 ∴ (n＋1)a

n1

－na =0

n

∴ n1

a

n

∴a

n 1

a a a

n n1 n2

a2 a

n 1 n 2 n 3 1 1 1

n a a a

n1 n2 n3

a 1 n n 1 n 2 2 n

1

五、a =f(a )型

n1 n

形如a =f(a )，其中f(a )是关于a 的函数.-—需逐层迭代、细心寻找其中规律．

n1 n n n

例5：已知数列｛a ｝，a=1,n∈N ，a =2a ＋3n,求通项公式a ．

n 1 n1 n n

解：∵a

n1

=2a

n

＋3n

∴ a =2a

n n1

＋3n-1=2(2a

n2

＋3n-2)＋3n-1=22(2a

n3

＋3n-3)＋2·3n-2＋3n-1

=……=2n-2(2a

1

＋3)＋2n-3·32＋2n-4·33＋2n-5·34＋…＋22·3n-3＋2·3n-2＋3n-1

=2n-1＋2n-2·3＋2n-3·32＋2n-4·3