专题02第二章 二次函数拓展之几何篇（优质类型，10大类型）（解析版）.docx

专题02第二章二次函数拓展之几何篇

【专题过关】

类型一、二次函数与等腰三角形

【解惑】已知抛物线的对称轴与轴交于点，点为，点为抛物线上的动点，当为等腰三角形时，点的坐标为．

【答案】或或

【分析】根据题意抛物线的对称轴为，，，，根据勾股定理得到，然后求出二次函数图像与轴的交点坐标，，可知，，再根据二次函数图像的对称性可得，由对称的性质可得，即可求解．

【详解】解：如图，∵抛物线的对称轴与轴交于点，点为，

∴抛物线的对称轴为，

∴，，，

∵，

∴，

当时，得：，

解得：，，

∴，，

此时，，

根据抛物线的对称轴，可知，此时，

综上，点的坐标为或或．

故答案为：或或．

??

【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点坐标，一元二次方程的应用，勾股定理，等腰三角形的判定，对称的性质，两点间的距离．掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．

【融会贯通】

1．（2023秋·天津津南·九年级统考期末）抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，点在在这条抛物线上．

(1)则点的坐标为；

(2)若点为轴的正半轴上的一点，且为等腰三角形，则点的坐标为．

【答案】，

【分析】（1）将点代入函数解析式即可得出结论；

（2）令，求得点的坐标，依据分类讨论的思想方法，利用为等腰三角形和等腰三角形的解答即可得出结论．

【详解】解：（1）点在抛物线上，

，

，

故答案为：；

（2）令，则，

解得：或．

抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧，

．

点为轴的正半轴上的一点，①当时，如图，

??

过点作于点，

，，

，，，

．

在和中，

，

，

．

，，

，

，

；

②当时，如图，

??

过点作轴于点，

，，

，，，

设点，

点为轴的正半轴上的一点，

，

，

，

，

，

解得：，

．

综上，当为等腰三角形，则点的坐标为或．

故答案为：或．

【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，等腰三角形的性质，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．

2．（2021秋·广东江门·九年级统考阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线的顶点．

??

(1)求此二次函数的解析式；

(2)求的面积；

(3)在其对称轴右侧的抛物线上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)的面积是3

(3)存在，点的坐标为或

【分析】（1）利用待定系数法即可求解；

（2）根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形即可求解；

（3）分别讨论为等腰三角形的底边或腰，即可求解．

【详解】（1）解:将，，代入，

得，

解得，

故此二次函数的解析式为.

（2）解：由知，.

∵，，

，

，

，

∴.

∴是直角三角形，且.

∴，

即的面积是3.

（3）解：存在，点的坐标为或.

由（2），知，对称轴为直线，

①若以为底边，则，

设点的坐标为，

根据勾股定理，得，

∴，

又∵点在抛物线上，

∴，

∴，

解得，.

∵点在其对称轴右侧的抛物线上，对称轴为直线，

∴，

∴，

即点的坐标为；

②若以为一腰，

∵点在其对称轴右侧的抛物线上，

∴由抛物线的对称性可知，点与点关于直线对称，此时点的坐标为.

综上所述，点的坐标为或.

【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理、二次函数与特殊三角形问题．利用分类讨论思想是求解第三问的关键．

3．（2023秋·安徽滁州·九年级校联考期末）抛物线与x轴交于A，B两点，A点在B点左边，与y轴交于C点，顶点为M．

(1)当时，求点A，B，M的坐标；

(2)如图1，在（1）的条件下，若P为抛物线对称轴上一个动点，且为等腰三角形，求P点坐标；

(3)如图2，若一次函数的图象过A点且与抛物线交于另一点F，交对称轴于E，轴，，．若，求的值．

【答案】(1)，，

(2)或或或

(3)

【分析】（1）解方程即可得到A，B的坐标，把抛物线解析式配成顶点式即可得到M点坐标；

（2）抛物线对称轴为，设，由为等腰三角形分三种情况讨论即可解答；

（3）作，构建，利用相似比即可求解．

【详解】（1）解：当时，抛物线解析式为，

令，解得，，

∴，，

∴，

∴；

（2）解：∵抛物线与y轴交于点C，

∴，又，

抛物线对称轴为，设，

∴，，，

∵为等腰三角形，

①当时，

有，

解得：，

∴；

②当时，

有，

解得：，

∴或；

③当时，

有，

解得：或（舍去），

∴；

综上，P点坐标为或或或；

（3）解：过E作，垂足为N，设对称轴与x轴交于点H，

∵，轴，

∴四边形为矩形，

∴，

∵,

∴，，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

又可以得到，，

∴，，

∵，

∴，

∴，