专题02第二章 二次函数（优质类型，10大类型）（解析版）.docx

专题02第二章二次函数

【专题过关】

类型一、二次函数与将军饮马

【解惑】如图1所示，已知直线与抛物线分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点和点，且抛物线的对称轴为直线．

??

(1)请分别求出k，m，a，b的值；

(2)如图2，点Q是线段上一点，且，点M是y轴上一个动点，求线段的最小值；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在请直接写出P点坐标，不存在请说明理由．

【答案】(1)，，，；

(2)

(3)或或或．

【分析】（1）待定系数法求k，m，a，b的值；

（2）由求出Q点坐标，再利用将军饮马模型求线段的最小值；

（3）不确定直角三角形的直角顶点，所以分三类讨论，利用勾股定理建立方程求出P点坐标．

【详解】（1）∵直线过点和点，

∴，

∴，

∴，

∵抛物线过点和点，对称轴为直线，

∴，

∴，

∴，

∴，，，；

（2）过点Q作轴，垂足为N，作关于y轴的对称点，

??

∵，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴的最小值为．

（3）存在点P，使是直角三角形，P点坐标为或或或．理由如下：

∵抛物线的对称轴为直线，

∴设P点坐标为，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴当时，，解得，

当时，，解得，

当时，，解得，

∴P点坐标为或或或．

【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的表达式，将军饮马模型，直角坐标系中的直角三角形问题，渗透了数形结合和分类思想，题型常规，难度不大．

【融会贯通】

1．（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点,．与y轴交于点C，，直线交抛物线于点E，且．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点M为直线上一点，点N为直线EC上一点，求的最小值；

(3)点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P，Q，使得以E，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)

(3)存在，（1，﹣4）或（7，﹣11）．

【分析】（1）求出C点坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可；

（2）作C点关于的对称点，过作交于N，交于点M，连接，，当M、N、三点共线时，的值最小，最小值为，求出即可；

（3）分两种情况讨论：①以为矩形的边，如图2，过点C作交抛物线于，过点E作交抛物线于点，过点作交于，过作交于，求出直线的解析式为，可求出直线的解析式为，联立方程组，可求得，由C点向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到点E，可得，同理可得；②当为矩形对角线时，如图3，以EC为直径的圆与抛物线没有交点，此时P点不存在．

【详解】（1）解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

将点，，代入，

∴，

解得，

∴；

（2）解：作C点关于的对称点，过作交于N，交于点M，连接，，

∴，

∴，

∴M、N、三点共线时，的值最小，

∵，，

∴为线段的垂直平分线，

∴直线的解析式为，

联立方程组，

解得，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴的最小值为．

（3）解：在点P，Q，使得以E，C，P，Q为顶点的四边形是矩形，理由如下：

①以为矩形的边，如图2，过点C作交抛物线于，过点E作交抛物线于点，过点作交于，过作交于，

∵，

设直线的解析式为，

∴，

解得，

∴直线的解析式为，

设直线与x轴交点为G，直线与x轴的交点为H，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

可求直线的解析式为，

联立方程组，

解得（舍）或，

∴；

∵C点向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到点E，

∴；

同理可得；

②当为矩形对角线时，如图3，以EC为直径的圆与抛物线没有交点，

∴此时P点不存在；

综上所述：Q点坐标为或．

【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，利用轴对称求最短距离的方法，矩形的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．

2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，，点P是直线下方抛物线上的一个动点．过点P作轴，交直线于点E．

??

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点M是抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值是________；

(3)求的最大值；

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；

（2）先求出点C的坐标为，根据、B关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线的对称轴上，得出，根据，两点之间线段最短，当点A、M、C在同一直线上时，最小，即最小，求出最小值即可；

（3）求出直线的解析式为，设，其中，则，求出，得出当时，取得最大值．

【详解】（1）解：∵，，

∴，，

∴，，

将点A，的坐标代入，得

，

解得：，

∴．

（2）解：把代入得：，

∴点C的坐标为，

∵、B关于抛物线的对称轴