A全等三角形之手拉手模型倍长中线截长补短法.docx

手拉手模型

要点一：手拉手模型

特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点

（3）OA平分∠BOC变形：结论：（1）△ABD≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180°

（3）OA平分∠BOC变形：

例1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形?ABD与?BCE，连结AE与CD，证明

?ABE??DBC

AE?DC

AE与DC之间的夹角为60?

?AGB??DFB

?EGB??CFB

BH平分?AHC

GF//AC

变式精练1：如图两个等边三角形?ABD与?BCE，连结AE与 CD，

证明（1）?ABE??DBC

AE?DC

AE与DC之间的夹角为60?

AE与DC的交点设为H,BH平分?AHC

变式精练2：如图两个等边三角形?ABD与?BCE，连结AE与CD，证明（1）?ABE??DBC

(2）AE?DC

(3）AE与DC之间的夹角为60?

(4）AE与DC的交点设为H,BH平分?AHC

例2：如图，两个正方形ABCD与DEFG,连结AG,CE,二者相交于点H

问：（1）?ADG??CDE是否成立？

AG是否与CE相等？

AG与CE之间的夹角为多少度？

HD是否平分?AHE？

例3：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连结AG,CE,二者相交于点H

问：（1）?ADG??CDE是否成立？

AG是否与CE相等？

AG与CE之间的夹角为多少度？

HD是否平分?AHE？

例4：两个等腰三角形?ABD与?BCE，其中AB?BD,CB?EB,?ABD??CBE??,连结AE与CD，

问：（1）?ABE??DBC是否成立？

AE是否与CD相等？

AE与CD之间的夹角为多少度？

HB是否平分?AHC？

例5：如图，点A.B.C在同一条直线上，分别以AB、BC为边在直线AC的同侧作等边三角形△ABD、△BCE.连接AE、DC，AE与DC所在直线相交于F，连接FB.判断线段FB、FE与FC之间的数量关系，并证明你的结论。

【练1】如图，三角形ABC和三角形CDE都是等边三角形，点A,E,D,同在一条直线上，且角EBD=62°，求角AEB的度数

倍长中线类

倍长与中点有关的线段

考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的：将题中已知和未知条件集中在一对三角形中、构造全等三角形、平移线段。

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线

DA

D

DA

D

△ABC中 方式1：延长AD到E，

AD是BC边中线 使DE=AD，

B C B C

连接BE

E

方式2：间接倍长

A A

作CF⊥AD于F， 延长MD到N，

F 作BE⊥AD的延长线于E M

使DN=MD，

B D C

连接BE

B D C

连接CD

E N

【例1】已知：?ABC中，AM是中线．求证：AM?1(AB?AC)．

2

A

B M C

【练1】在△ABC 中，AB?5，AC?9，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么？

【练2】如图所示，在?ABC的AB边上取两点E、F，使AEBF? ，连接CE、CF，求证：AC?BC?EC?FC．

C

A E F B

【练

【练3】如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AB上一点，F是AC延长线上的一点，且BD=CF，连结DF交BC于E．求证：DE=EF(倍长中线、截长补短)

【例2】如图，已知在?ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AF?EF，求证：AC?BE．

FE

F

E

B D C

【练1】如图，已知在?ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE?AC，延长BE交AC于

F，求证：AF?EF

DF

D

F

E

A B

【练2】如图，在△ABC中，AB>AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G.求证：BF=CG.

【练3】如图，在?ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F