2020版高考数学第八章深化提能——与圆有关的综合问题讲义.docx

第3课时 深化提能——与圆有关的综合问题

与圆有关的轨迹问题圆的方程是高中数学的一个重要知识点，高考中，除了圆的方程的求法外，圆的方程与其他知识的综合问题也是高考考查的热点，常涉及轨迹问题和最值问题．解决此类问题的关键是数形结合思想的运用．

与圆有关的轨迹问题

[典例] 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

求线段AP中点的轨迹方程；

若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．

[解] (1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.

故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)．

在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.

设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.

故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.[方法技巧] 求与圆有关的轨迹问题的4种方法

[针对训练]

1．(2019·厦门双十中学月考)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为( )

A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1

C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4

B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4

D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1

解析：选A 设中点为A(x，y)，圆上任意一点为B(x′，y′)，

??x′＋4＝2x，由题意得，?

??y′－2＝2y，

??x′＝2x－4，则?

??y′＝2y＋2，

故(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得，(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故选A.

2．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线

段AB的中点为M，O为坐标原点．

求M的轨迹方程；

当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．

解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.

Mx y

―→ ―→

设 (，)，则CM＝(x，y－4)，MP＝(2－x,2－y)．

―→ ―→

由题设知CM·MP＝0，

故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.

由于点P在圆C的内部，

所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.

(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心， 2为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．

又P在圆N上，从而ON⊥PM.

因为ON

的斜率为3，所以

1

l的斜率为－，

3

故l的方程为x＋3y－8＝0.

OM OP

O l 4 10

又| |＝|

|＝2 2， 到

的距离为 5 ，

PM 4 10 S

1 4 10 4 10 16

，

所以|

|＝ 5

，△PO＝M

× × ＝

2 5 5 5

故△POM

16

的面积为5.

与圆有关的最值或范围问题

与圆有关的最值或范围问题

[例1] (2019·兰州高三诊断)已知圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝10和点M(5，t)，若圆C上存在两点A，B使得MA⊥MB，则实数t的取值范围是( )

A．[－2,6]

C．[2,6]

B．[－3,5]

D．[3,5]

[解析]法一：当MA，MB是圆C的切线时，∠AMB取得最大值．若圆C上存在两点A，B使得MA⊥MB，则MA，MB是圆C的切线时，∠AMB≥90°，∠AMC≥45°，且∠AMC＜90°，如图，所以|MC|＝

－2＋t

－

2＋

t－

2≤

＝ 20，所以16＋(t－4)2≤20，所

sin45°

以2≤t≤6，故选C.

法二：由于点M(5，t)是直线x＝5上的点，圆心的纵坐标为4，所以实数t的取值范围

一定关于t＝4对称，故排除选项A、B.当t＝2时，|CM|＝2 5，若MA，MB为圆C的切线，

则sin∠CMA＝sin∠CMB＝ 10＝ 2，所以∠CMA＝∠CMB＝45°，即MA⊥MB，所以t＝2时

2 5 2

符合题意，故排除选项D.选C.[答案] C

[例2] 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：

y

x的最大值和最小值；

y－x的最大值和最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．

[解] 原方程可化为(x－2)2＋y2＝