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上海市静安区2022-2023学年高一下册数学期末试卷

阅卷人

一、填空题

得分

1．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，其终边经过点(?1，2).则角α的余弦值为

2．已知扇形的弧所对的圆心角为40°，且半径为9m，则该扇形的弧长为m.

3．若sin(π?θ)+sin(3π2+θ)=12

4．已知1?3i是实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个根，则bc的值为

5．设某新鲜食物每存放一天，剩余的营养成分是前一天的90%，当剩余的营养成分不足新鲜时的一半时，该食物就不能食用了.则该新鲜食物最多存放天.（结果精确到1天）

6．设向量a=(cosx，sinx)，b=(cosx，?sinx)，且

7．若点D是△ABC的重心（中线的交点），则用向量AB、AC表示CD为

8．已知点A的坐标为(?3，4)，将OA绕坐标原点O顺时针旋转π3至OB.则点B

阅卷人

二、单选题

得分

9．在平面直角坐标系中，以下命题中所表述的角都是顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合的角.

①小于90°的角一定是锐角；

②第二象限的角一定是钝角；

③终边重合的角一定相等；

④相等的角终边一定重合.

其中真命题的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

10．已知平面向量a=(?1，2)，b=(2，

A．?2 B．?1 C．(?2，0)

11．设z∈C，σ(z)表示满足zn=1的最小正整数n，则

A．6 B．7 C．8 D．9

阅卷人

三、解答题

得分

12．设数列{an}为等差数列，已知a

（1）求an

（2）设bn=(

13．设复数z1=a+bi，z2=c+di，其中a、b、c、d∈R.现在复数系中定义一个新运算

（1）已知|(2?i)?(x+i)|=2，求实数x

（2）现给出如下有关复数新运算?性质的两个命题：

①z1

②若z1?z2=0

请判定以上两个命题是真命题还是假命题，并说明理由.

14．如图，某人位于临河的公路上，已知公路两个相邻路灯A、B之间的距离是100m，为了测量点A与河对岸一点C之间的距离，此人先后测得∠BAC=75°，∠ABC=60°.

（1）求A、C两点之间的距离；

（2）假设你只携带着量角器（可以测量以你为顶点的角的大小）.请你设计一个通过测量角可以计算出河对岸两点C、D之间距离的方案，用字母表示所测量的角的大小，并用其表示出CD的长.

15．（1）指出函数y=22(sinxcosx?sin

（2）指出正弦函数y=sinx的单调性，并以此为依据证明：余弦函数y=cosx在区间[2kπ?π，

16．如图，平面向量e1与e2是单位向量，夹角为60°，那么，向量e1、e2构成平面的一个基.若a=x

（1）记向量e1=OA，e

（2）设a=?1，?1?，b

（3）请以（2）中的问题为特例，提出一个一般性的问题，并解决问题.

答案解析部分

1．【答案】?

【知识点】任意角三角函数的定义

【解析】【解答】解：因为r=(?1)

故答案为：?5

【分析】根据三角函数定义，注意象限角的函数值正负，结合条件计算即可.

2．【答案】2π

【知识点】扇形的弧长与面积

【解析】【解答】解：圆心角40°=29π，由扇形的弧长公式

故答案为：2π.

【分析】先将圆心角化为弧度，再根据公式l=α·R计算出结果即可.

3．【答案】3

【知识点】二倍角的正弦公式；诱导公式

【解析】【解答】解：

因为sin(π?θ)+sin(3π2+θ)=12

又因为(sinθ?cosθ)2=1?sin2θ，则sin2θ=1?1

【分析】熟练掌握应用诱导公式“奇变偶不变”将题目三角函数等式化简，再根据(sinθ?cosθ)

4．【答案】?20

【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算

【解析】【解答】解：因为1-3i是实系数一元二次方程的一个根，

所以(1-3i)2+b(1-3i)+c=0，化简得：-8+b+c=(3b+6)i，

则3b+6=0?8+b+c=0?b=?2c=10?bc=?20，

5．【答案】6

【知识点】一元二次不等式的实际应用

【解析】【解答】解：设某新鲜食物原有营养成分为a，则存放一天后剩

余的营养成分是90a%=910a，

则存放两天后剩余的营养成分是(910)2a..，

所以存放n天后剩余的营养成分是(910)na，

(9

故答案为：6.

【分析】本题考查函数模型的选择及应用，考查运算求解能力.设某新鲜食物原有营养成分为a，则存放n天后剩余的营养成分是(910)n

6．【答案】(?

【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；二倍角的余弦公式；含三角函