2021-2023北京初三一模数学汇编：等腰三角形与直角三角形.docx

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2021-2023北京初三一模数学汇编

等腰三角形与直角三角形

一、单选题

1．（2023北京东城初三一模）如图，，按下列步骤作图：①在边上取一点C，以点O为圆心、长为半径画弧，交于点D，连接；②以点C为圆心、长为半径画弧，交于点E，连接，则的度数为（???）

A． B． C． D．

二、填空题

2．（2023北京东城初三一模）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C是网格线交点，则的外角的度数等于°．

3．（2023北京平谷初三一模）如图，在中，，，平分，若，则．

4．（2022北京门头沟初三一模）如图，点在直线外，点、、、均在直线上，如果，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是（写出一个即可）．

5．（2022北京房山初三一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于D点．若BD平分∠ABC，则∠A＝??°．

6．（2021北京门头沟初三一模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C是网格线交点，那么．

7．（2021北京大兴初三一模）如图所示的网格是正方形网格，是网格线的交点，则与的大小关系为：（填“”，“=”或“”）．

8．（2021北京朝阳初三一模）如图，在四边形中，于点．有如下四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是．

9．（2021北京房山初三一模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线交点，则．

三、解答题

10．（2023北京房山初三一模）下面是证明等腰三角形性质定理“三线合一”的三种方法，选择其中一种完成证明．

等腰三角形性质定理：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简记为：三线合一）．

方法一：

已知：如图，中，，平分．

求证：，．

方法二：

已知：如图，中，，点为中点．

求证：，．

方法三：

已知：如图，中，，．

求证：，

11．（2023北京通州初三一模）直线是线段的垂直平分线，垂足为点O，点C是直线上一点，连接．以为斜边作等腰直角，连接．

(1)如图1，若，求的度数；

(2)如图2所示，点E是直线上一点，且，连接，延长至点F，使得，连接．根据题意补全图2，写出线段之间的关系，并证明．

12．（2023北京海淀初三一模）下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在中，．

求证：．

方法一

证明：如图，延长到点D，使得，连接．

方法二

证明：如图，在线段上取一点D，使得，连接．

13．（2021北京平谷初三一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F．

（1）如图1，当点D为线段AB上的任意一点，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；

（2）如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系，并证明．

14．（2021北京门头沟初三一模）已知，如图，是等边三角形，于D，E是BC延长线上的一点，．求的度数．

15．（2021北京西城初三一模）如图，在中，．D是内一点，．过点B作交的延长线于点E．

（1）依题意补全图形；

（2）求证：；

（3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与相等的线段并加以证明．

参考答案

1．B

【分析】根据作图步骤得到，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，，然后利用三角形外角性质可计算出的度数．

【详解】解：由作法得，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴．

故选：B．

【点睛】本题考查了尺规作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质和尺规作图的基本原理．也考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质．

2．135

【分析】通过证明可得为等腰直角三角形，即可求解．

【详解】解：如图：

在和中，

，

∴，

∴，

∵，

∴

∴，

∴，

∴．

故答案为：135．

【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法以及全等三角形对应角相等，对应边相等．

3．2

【分析】根据题意可得，再根据角平分线的定义得出，进而得出，即可得出结论．

【详解】解：∵，，

∴，

∵平分，

∴，

∴，，

∴，

∵，，

∴，

故答案为：2．

【点睛】本题主要考查了含的直角三角形，角所对的边是斜边的一半，以及角平分线的定义，解题的关键是掌握同高的三角形，面积