2019-2023北京中考真题数学汇编：代数综合（第26题）.docx

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2019-2023北京中考真题数学汇编

代数综合（第26题）

一、解答题

1．（2023·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为．

(1)若对于，有，求的值；

(2)若对于，，都有，求的取值范围．

2．（2022·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为

(1)当时，求抛物线与y轴交点的坐标及的值；

(2)点在抛物线上，若求的取值范围及的取值范围．

3．（2021·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上．

（1）若，求该抛物线的对称轴；

（2）已知点在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由．

4．（2020·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系中，为抛物线上任意两点，其中．

（1）若抛物线的对称轴为，当为何值时，

（2）设抛物线的对称轴为．若对于，都有，求的取值范围．

5．（2019·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．

（1）求点B的坐标（用含的式子表示）；

（2）求抛物线的对称轴；

（3）已知点，．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．

参考答案

1．(1)

(2)

【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；

（2）根据题意可得离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得，进而根据，即可求解．

【详解】（1）解：∵对于，有，

∴抛物线的对称轴为直线，

∵抛物线的对称轴为．

∴；

（2）解：∵当，，

∴，，

∵，，

∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，

∴，

即．

【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．

2．(1)（0，2）；2

(2)的取值范围为，的取值范围为

【分析】（1）当x=0时，y=2，可得抛物线与y轴交点的坐标；再根据题意可得点关于对称轴为对称，可得t的值，即可求解；

（2）抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），根据抛物线的图象和性质可得当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点，点，点（2t，c）均在对称轴的右侧时；当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，即可求解．

【详解】（1）解：当时，，

∴当x=0时，y=2，

∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）；

∵，

∴点关于对称轴对称，

∴；

（2）解：当x=0时，y=c，

∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c），

∴抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），

∵，

∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，

当点，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，，

∵1＜3，

∴2t＞3，即（不合题意，舍去），

当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，，

此时点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，

∴，解得：，

∵1＜3，

∴2t＞3，即，

∴，

∵，，对称轴为，

∴，

∴，解得：，

∴的取值范围为，的取值范围为．

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．

3．（1）；（2），理由见解析

【分析】（1）由题意易得点和点，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可；

（2）由题意可分当时和当时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可．

【详解】解：（1）当时，则有点和点，代入二次函数得：

，解得：，

∴抛物线解析式为，

∴抛物线的对称轴为；

（2）由题意得：抛物线始终过定点，则由可得：

①当时，由抛物线始终过定点可得此时的抛物线开口向下，即，与矛盾；

②当时，

∵抛物线始终过定点，

∴此时抛物线的对称轴的范围为，

∵点在该抛物线上，

∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为，

∵，开口向上，

∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，

∴．

【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．

4．（1）；（2）

【分析】（1）根据抛物线解析式得抛物线必过（0，c），因为，抛物线的对称轴为，可得点M，N关于对称，从而得到的值；

（2）根据题意知，抛物线开口向上，对称轴为，分3种情况讨论，情况1：当都位于对称轴右侧时，情况2：当都位于对称轴左侧时，情况3：当位于对称轴两侧时，分别求出对应的t值，再进行总结即可．

【详解】解：（1）当x=0时，y=c，

即抛物线必过（0，c），

∵，抛物线的对称轴为，

∴点M，N关于对称，

又∵，

∴，；

（2）由题意知，a＞0，

∴抛物线开口向上

∵抛物线的对称轴为，

∴情况1：当都位于对称轴右侧时，即当时，恒成立

情况2：当都位于对称轴左侧时