清华微积分高等数学第八讲微分中值定理市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

作业P88习题4.15(1).7.8(2)(4).9(1).10(3).P122综合题:4.5.复习：P80——88预习：P89——9510/10/1第1页第1页

应用导数研究函数性态局部性态—未定型极限函数局部近似整体性态—在某个区间上函数单调性、函数极值函数凸性、渐近性、图形10/10/2第2页第2页

微分中值定理，包括：罗尔定理、拉格朗中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理微分中值定理是微分学理论基础。是利用导数研究函数性质理论依据。微分中值定理共同特点是：在一定条件下，能够断定在所给区间内至少有一点，使所研究函数在该点含有某种微分性质。10/10/3第3页第3页

第八讲微分中值定理一、费尔马(Fermat)定理二、罗尔(Rolle)定理三、拉格朗日(Lagrange)定理四、柯西(Cauchy)定理10/10/4第4页第4页

一、费尔马(Fermat)定理（一）极值定义：10/10/5第5页第5页

极值研究是微积分产生主要动力之一10/10/6第6页第6页

（二）费尔马定理(极值必要条件)10/10/7第7页第7页

10/10/8第8页第8页

[证]10/10/9第9页第9页

10/10/10第10页第10页

微分中值定理引入(((10/10/11第11页第11页

10/10/12第12页第12页

10/10/13第13页第13页

?10/10/14第14页第14页

二、罗尔(Rolle)定理10/10/15第15页第15页

如何证实罗尔定理？先利用形象思维去找出一个C点来！想到利用闭区间上连续函数最大最小值定理！10/10/16第16页第16页

罗尔定理证实：10/10/17第17页第17页

10/10/18第18页第18页

三、拉格朗日(Lagrange)定理10/10/19第19页第19页

如何证实拉格朗日定理？拉格朗日定理若添加条件:则收缩为罗尔定理；罗尔定理若放弃条件:则推广为拉格朗日定理。知识扩张所遵循规律之一就是将欲探索新问题转化为已掌握老问题。因此想到利用罗尔定理！10/10/20第20页第20页

满足罗尔定理条件弦线与f(x)在端点处相等设函数10/10/21第21页第21页

拉格朗日定理证实：结构辅助函数拉格朗日中值公式10/10/22第22页第22页

拉格朗日公式各种形式有限增量公式10/10/23第23页第23页

10/10/24第24页第24页

推论1：[证]10/10/25第25页第25页

推论2：推论3：推论4：10/10/26第26页第26页

四、柯西(Cauchy)定理10/10/27第27页第27页

柯西中值定理证实：结构辅助函数10/10/28第28页第28页

费尔马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理10/10/29第29页第29页

零点问题下列证实正好有三个根该方程实根个数就是两条曲线10/10/30第30页第30页

首先证实至少有三个根计算表明依据介值定理因此方程至少有三个根然后证实方程最多有三个根用反证法10/10/31第31页第31页

依据洛尔定理矛盾！总而言之，方程正好有三个实根3510/10/32第32页第32页

直观观测能够启发思绪在第一个情形,都不是最小值因此最小值一定在区间内部达到10/10/33第33页第33页

[证]10/10/34第34页第34页

证实思绪直观分析[例3]10/10/35第35页第35页

[证]依据连续函数最大最小值定理10/10/36第36页第36页

[证]10/10/37第37页第37页

4410/10/38第38页第38页

[证]10/10/39第39页第39页

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[证]10/10/41第41页第41页

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[证]10/10/44第44页第44页

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[证]10/10/46第46页第46页

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[证]10/10/49第49页第49页

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