高中数学-第一章-常用逻辑用语-1.2.3-充要条件作业1-北师大版选修1-1.docxVIP

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1.2.3充要条件

[基础达标]

1.设x∈R，则x＞e的一个必要不充分条件是(

)

A．x＞1

C．x＞3

B．x＜1

D．x＜3

解析：选A.∵x＞1x＞e，而x＞ex＞1.

2.设α，β分别为两个不同的平面，直线lα，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的

(

)

A．充分不必要条件

C．充分必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A.根据两个平面垂直的判定定理知“l⊥β”是“α⊥β”的充分条件，但由

两个平面垂直的性质知α⊥β时，平面α内只有和它们的交线垂直的直线才能垂直于平面

l⊥”，因此选A.

β，故本题中由“α⊥β”不能得到“

β

3.设a，b都是非零向量，则“a·b＝±|a||b|”，是“a，b共线”的(

)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选C.设〈a，b〉＝θ，a·b＝|a||b|cosθ，当|a||b|·cosθ＝±|a||b|时，

cosθ＝±1，θ＝0或π，则a与b共线，若a、b共线，则〈a，b〉＝0或π，则a·b＝

±|a||b|.

4.若a，b∈R，则“a＞b”是“a＋b＞ab＋ab”的(

)

B．必要非充分条件

3

3

2

2

A．充分非必要条件

C．充分且必要条件

D．既非充分也非必要条件

解析：选D.a＋b－ab－ab＝(a＋b)(a－b)，a＞ba＋b＞ab＋ab，故选D.

3

3

2

2

2

3

3

2

2

5.设{a}是等比数列，则“a＜a＜a”是“数列{a}是递增数列”的(

)

n

A．充分而不必要条件

1

2

3

n

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选C.设公比为q，由a＜a＜a得a＜aq＜aq，

2

1

2

3

1

1

1

a＞0a＜0

?

?

?

?

∴

1

或

1

，∴充分性成立；

?

?

q＞1

0＜q＜1

?

?

?

?

a＞0a＜0

?

?

?

?

当{a}递增时，则

1

或

1

，∴a＜a＜a，必要性成立．

?

?

?

q＞1

0＜q＜1

n

1

2

3

?

?

?

6.在△ABC中，“sinA＝sinB”是“a＝b”的________条件．

解析：在△ABC中，由正弦定理及sinA＝sinB可得2RsinA＝2RsinB，即a＝b；反

之也成立．

答案：充要

7.设A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充要条件，则D是

A的________条件．

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解析：由题意知：A?B?C?D，∴A?D.

答案：必要不充分

8.已知条件p：|x－1|＞a和条件q：2x－3x＋1＞0，则使p是q的充分不必要条件的

2

最小整数a＝________．

解析：由题意知a＞0，设A＝{x||x－1|＞a}＝{x|x＜1－a或x＞1＋a}，B＝{x|2x－

2

1

3x＋1＞0}＝{x|x＜或x＞1}，

2

由题意，AB，

?

?

?

1?

1－a＜1

?

?

1－a≤2

∴由数轴可得

或

2.

?

?

?a

1＋＞1

?a

1＋≥1

1

∴a≥，故a的最小整数为1.

2

答案：1

9.已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：

(1)s是q的什么条件？

(2)r是q的什么条件？

(3)p是q的什么条件？

解：如图所示，可知：

(1)因为q?s，s?r?q，所以s是q的充要条件．

(2)因为r?q，q?s?r，所以r是q的充要条件．

(3)因为q?s?r?p，而pq，所以p是q的必要不充分条件．

10.求证：关于x的方程x＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.

2

证明：(1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m－4≥0，所以方程x＋mx＋1＝0有实根，设

2

2

两根为x，x，由根与系数的关系知，x·x＝1＞0，所以x，x同号．

1

2

1

2

1

2

又x＋x＝－m≤－2＜0，所以x，x同为负数．即x＋mx＋1＝0有两个负实根的充分

2

1

2

1

2

条件是m≥2.

(2)必要性：因为x＋mx＋1＝0有两个负实根，设其为x，x，且xx＝1，

2

1

2

12