甘肃省2020年全国高中数学联合竞赛预赛试题.docx

二Ｏ一二年全国高中数学联赛甘肃预赛试卷

(2020年6月24日上午9:00-11:30)

考生注意:1、本试卷共两大题(12道小题),全卷满分120分.2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答.

3、解题书写不要超出装订线.

4、不能使用计算器.

一、填空题(本题满分56分,每小题7分)

1.空间四点A，B，C，D两两间的距离均为1，点P与点Q分别在线段AB与CD上运动，则点P与点Q间的最小距离为 ；

?2.向量OA??1,0?,OB??1,1?,O为坐标原点，动点P?x,y?满足??0?OP?OA?1,则点

?

??0?OP?OB?2

Q?x?y,y?构成的图形的面积为

设有非空集合A??1,2,3,4,5,6,7?且当a?A时，必有8?a?A，这样的集合A的个数是

；

f?x????x??x?,x?0 ,

?x?

f?x??kx?k?k?0?

设

?

??f

?x?1?,x?0其中

表示不超过x的最大整数，若

有三个不同的实数根，则实数k的取值范围是

?tanx2 2012?2?sinx201211位数的手机号码，前七位数字是1390931，若余下的4个数字只能是1、3、5

?tanx

2 2012

?

2

?sinx

2012

若tanx

1

tanx

?1,则sinx

1

?sinx

的最大值是 ；

设函数f:R?R，满足f?0??1且对任意x,y?R都有

f?xy?1??f?x?f?y??f?y??x?2，则f?x?? ；

实数x,y,z满足x2?y2?z2

?1，则xy?yz的最大值为 ；

二、解答题(本题满分64分,第9、10题每题14分，第11、12题每题18分)

已知数列?a

n

?满足

a ?a

nn?1

n

a ?a

?1?n

?1

?n?N*

?，且a

?

2

?6。

n?1 n

求数列?a?的通项公式；

??n

?

?

a * ? ?

设b

n

? n n?N

n?c

,c为非零常数，若数列b

n

是等差数列，记

bc ? n,S

b

n 2n n

?c?c?

1 2

c，求S

n n.

M是抛物线y2?2px?p?0?的准线上任意点，过M作抛物线的切线l,l

1 2

，切点分别为A、B

（A在x轴上方）。

证明：直线AB过定点；

设AB的中点为P，求｜MP｜的最小值。

设a,b,c为正实数，且a?b?c?1，求证：

? ??

a b c ? 1

a2?b2?c2

?b?c?a?c?a?b??2.

? ?

某校数学兴趣小组由m位同学组成，学校专门安排n位老师作为指导教师.在该小组的一次活动中，每两位同学之间相互为对方提出一个问题,每位同学又向每位指导教师各提出一个问题，并且每位指导教师也向全组提出一个问题，以上所有问题互不相同，这样共提出了51个问题.试求m，n的值．

20l2全国南中数学联赛甘肃省预寺预赛参芍答案

（满分120分）

埴空迵（哿小赵？分．，共56分）

迈1飞 ，＿

迈

5、36

2.. 2 3、l5 4、(4I 3I］

6 1 7、x+l 8、五—

、

、—

-.勹K邓 ＿}

．、胖爷匙

说明：以下评分标准仅供参考，其他芷确答案请参照以下给分点平行给分

如＋9`（l4分）已知数列亿｝满足 na-l＝12(n芒寸 ，且d1=6

如＋

灿－na+I

(I)求数列{na}的通项公式；

(lI)设凡＝』（汀EN+）工为非平常数 片数列｛凡｝是等差数列顷i吐 ＝乌s“气飞＋－－＋正勺，求S”

几十C

前 (I)山已知灿＋an－1＝（n

灿－屯＋1

吐N＋）伍－l）如－｛ft+l沁＝－（n-tl）

｀ 店改 时，生 －立＝－—J

吁 l n-1 n-1

进一步得 丸吐1 ”月 l ( l l(n+l)n- l1(n-l)=－叩－1)＝－三

从配有：（n飞，］－夸＝－［（1分）＋甘－；一）＋＋（士 上 ］十（古 －订］

=－－l

又a:i=6,，当，心2时