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高三数学重要知识点总结

1.数列的定义

按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数

列的项.

（1）从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果

组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如

数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.

（2）在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在

同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的____次幂，____次

幂，____次幂，____次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….

（4）数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的

某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f（n），而项数是指

这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f（n）中的n.

（5）次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它

们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与

数集有本质的区别.如：2，3，4，5，6这____个数按不同的次序排列

时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次

序排列都是同一个集合.

2.数列的分类

（1）根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和

无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，

3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，

9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列.

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（2）按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几

类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.

3.数列的通项公式

数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一

列数的规律，这个规律通常是用式子f（n）来表示的，

这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个

函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它

的通项公式;有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是的，

仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，

通项公式更非.如：数列1，2，3，4，…，

由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要

看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数

列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.

再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：

（1）数列的通项公式实际上是一个以正整数集N____或它的有限

子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式.

（2）如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替

代公式中的n就可以求出这个数列的各项;同时，用数列的通项公式也

可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.

（3）如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数

列都有通项公式.

如2的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…

所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.4142，…就没有通项公式.

（4）有的数列的通项公式，形式上不一定是的，正如举例中的：

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（5）有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，

那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不.

4.数列的图象

对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的

对应关系：

序号：1234567

项

这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映

射.因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整

集N____（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小

到大依次取值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数，

它的自变量只能取正整数.

由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是

相应函数和解析式.

数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的.

数列用图象来表示