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2016随机过程〔A〕解答

1、〔15分〕设随机过程,,,是相互独立服从正态分布

X(t)UtVt(0,)UVN(2,9)

的随机变量.

1)求X(t)的一维概率密度函数；

2)求X(t)的均值函数、相关函数和协方差函数.

3)求X(t)的二维概率密度函数；

解：

由于,V是相互独立服从正态分布N(2,9)的随机变量,所以X(t)UtV也服从正态

U

分布,

且：m(t)EX(t)EUtVtEUEV2t2



2

x2t2



12

故：1X(t)的一维概率密度函数为：f(x)te18(t1),x

2



32t1

2X(t)的均值函数为：m(t)2t2；相关函数为：

协方差函数为：B(s,t)R(s,t)m(s)m(t)9st9

（3）相关系数：

X(t)的二维概率密度函数为：

2、〔12分〕某商店8时开始营业,在8时顾客平均到达率为每小时4人,在12时顾客的平均

到达率线性增长到最高峰每小时80人,从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小

时80人.问在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率是多少？在10:00—14:00之间到

达商店顾客数的数学期望和方差是多少？

解：

到达商店顾客数服从非齐次泊松过程.

将8时至15时平移到0—7时,则顾客的到达速率函数为：

在10:00—14:00之间到达商店顾客数X(6)X(2)服从泊松分布,其均值：

在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率为：

在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差相等,均为：

3、〔13分〕设移民到某地区定居的户数是一个泊松过程,平均每周有8户定居,如果一户4

人的概率为0.2,如果一户3人的概率为0.3,一户2人的概率为0.3,一户1人的概率为0.2,

并且每户的人口数是相互独立的随机变量,求在8周内移民到该地区人口数的数学期望

与方差.

解：

已知移民到某地区定居的户数N(t)是一个强度8的泊松过程,第户的人口数i

Y（i1,2,）i是相互独立同分布的随机变量,在周内移民到该地区人口数：t

N(t)Y1234

X(t)Y是一个复合泊松过程,Yi的分布为：i

i

i1P0.20.30.30.2

2

由公式：EX(t)tEY,DX(t)tEY

可得在5周内移民到该地区人口数的数学期