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高考数学柯西不等式知识点总结

柯西不等式和排序不等式是两个非常重要的不等式，它们在高等

数学中的应用很普遍。下面店铺给大家带来高考数学柯西不等式知识

点，希望对你有帮助。

高考数学柯西不等式知识点(一)

所谓柯西不等式是指:设ai，bi∈R(i=1，2…，n，)，则

(a1b1+a2b2+…anbn)2≤(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)，

等号当且仅当==…=时成立。

柯西不等式证法:

柯西不等式的一般证法有以下几种：

(1)柯西不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai，bi，则有

(∑ai^2)*(∑bi^2)≥(∑ai*bi)^2.

我们令f(x)=∑(ai+x*bi)^2=(∑bi^2)*x^2+2*(∑ai*bi)

*x+(∑ai^2)

则我们知道恒有f(x)≥0.

用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有Δ=4*(∑ai*

bi)^2-4*(∑ai^2)*(∑bi^2)≤0.

于是移项得到结论。

(2)用向量来证.

m=(a1，a2an)n=(b1，b2bn)

mn=a1b1+a2b2++anbn=(a1^2+a2^2++an^2)^(1/2)

乘以(b1^2+b2^2++bn^2)^(1/2)乘以cosX.

因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2++anbn小于等于

a1^2+a2^2++an^2)^(1/2)乘以

(b1^2+b2^2++bn^2)^(1/2)

这就证明了不等式.

柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法.

柯西不等式应用:

可在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问

题的方面得到应用。

巧拆常数：

例：设a、b、c为正数且各不相等。

求证：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)9/(a+b+c)

分析：∵a、b、c均为正数

∴为证结论正确只需证：

2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]9

而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)

又9=(1+1+1)(1+1+1)

证明：

Θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(

a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9

又a、b、c各不相等，故等号不能成立

∴原不等式成立。

像这样的例子还有很多，词条里不再一一列举，大家可以在参考

资料里找到柯西不等式的证明及应用的具体文献.

柯西简介:

1789年8月21日生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国

波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭

的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教

徒。

他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，很多数学的定理和

公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式...在数学写

作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789

篇论文和几本书，其中有些还是经典之作，不过并不是他所有的创作

质量都很高，因此他还曾被人批评高产而轻率，这点倒是与数学王子

相反，据说，法国科学院会刊创刊的时候，由于柯西的作品实在太

多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，

科学院后来规定论文最长的只能够到四页，所以，柯西较长的论文只

得投稿到其他地方。

柯西在代数学、几何学、误差理论以及天