3.4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系（第一课时夹角问题）（课件）高二数学（北师大版2019选择性必修第一册）.pptxVIP

3.4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系（第一课时夹角问题）温故知新 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中所涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.一、用向量法研究夹角问题ba′OPaO一、线线角如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O，则这两条线所成过O点分别作a，b的平行线a′和b′，的锐角θ（或直角），称为异面直线a，b所成的角.平移b′θa′若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直.异面直线a与b垂直也记作a⊥b.异面直线所成角θ的取值范围：.异面直线所成角夹角问题：llmm解设s1,s2分别是AC和AD的一个方向向量，取s1=,s2=.因为A(0,0,0),C(2,1,3),A(0,0,3),D(0,1,0),所以s1==(2,1,3),s2==(0,1,-3).?例1如图3-41,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-ABCD,AB=2,BC=1,AA=3.求AC与AD所成角的余弦值.例1如图3-41,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-ABCD,AB=2,BC=1,AA=3.求AC与AD所成角的余弦值.?设AC与AD所成角为θ，则cosθ====.故AC与AD所成角的余弦值为.你能归纳出利用向量求空间直线与直线所成角的一般方法吗？ ?化为向量问题回到图形问题??进行向量运算解1：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设则：所以与所成角的余弦值为解2立体几何法二、线面角平面的斜线直线与平面垂直是直线与平面的相交时的一种特殊情况，当它们不垂直时，可以发现不同的直线与平面相交的情况也是不同的，如何刻画这种不同呢？一条直线与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线称为这个平面的斜线，斜线与平面的交点称为斜足．斜足如何作直线与平面所成的角？过斜线上斜足以外的一点P向平面作垂直，过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线在这个平面上的投影．平面的一条斜线与在这个平面上的投影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角．追问直线与平面所成的角的范围是多少？根据直线与平面所成的角定义可知，范围是［0，90°］．夹角问题：ll例2如图3-44,在正三棱柱ABC-ABC中，底面边长为2,AA=,求直线AB与侧面ACCA所成角的正弦值.?解由正三棱柱知AA丄平面ABC,故以点A为原点,AC,AA所在直线分别为y轴、Z轴，如图3-45建立空间直角坐标系.易知n=(1,0,0)是平面ACCA的一个法向量.由△ABC是边长为2的正三角形，可得B(,1,).所以=(,1,).??设直线AB与侧面ACCA所成的角为θ,则sinθ===.所以直线AB与侧面ACCA所成角的正弦值为.?例2如图3-44,在正三棱柱ABC-ABC中，底面边长为2,AA=,求直线AB与侧面ACCA所成角的正弦值.的棱长为1.zA1D1C1B1EADFyBCx变式：?解1建立直角坐标系.的棱长为1.zA1D1C1B1EADFyBCx变式：?解2立体几何法P三、面面角半平面及二面角的定义1、半平面：平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，每一部分都叫做半平面。2、二面角：从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。面半平面半平面面棱二面角的画法与记法1、二面角的画法：（1）平卧式（2）直立式二面角的画法与记法2、二面角的记法：面1－棱－面2（1）、以直线为棱，以为半平面的二面角记为：（2）、以直线AB为棱，以为半平面的二面角记为：BA二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。?=注：（1）二面角的平面角与点的位置无关，只与二面角的张角大小有关。（2）平面角是直角的二面角叫做直二面角。（3）二面角的取值范围一般规定为[0,π]。AoB注意：二面角的平面角必须满足：（1）角的顶点在棱上。（2）角的两边分别在两个面内。（3）角的边都要垂直于二面角的棱。探究点用向量求两个平面所成的角?我们知道，两个平面相交形成四个二面角，那么二面角的平面角与两个平面的法向量存在怎样的关系呢？下面选择其中一个来研究.如图3-46,过二面角α-l-β内一点P作PA⊥α于点A,作PB⊥β于点B,则（或）是平面α的一个法向量，（或）是平面β的