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高考专题：平面向量中的三角形“四心”问题题型总结

专题：平面向量中三角形“四心”问题题型总结

在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在

近年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，而且培养了考

生分析问题、解决问题的能力．现就“四心”作如下介绍：

1．“四心”的概念与性质

(1)重心：三角形三条中线的交点叫重心．它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离

之比为2∶1.在向量表达形式中，设点G是△ABC所在平面内的一点，则当点G是△ABC的

uuuruuuruuuruuur1uuuruuuruuur

重心时，有GA＋GB＋GC＝0或PG＝(PA＋PB＋PC)(其中P为平面内任意一

3

uuuruuuruuur

GAGBGCGABCG

点)．反之，若＋＋＝0，则点是△的重心．在向量的坐标表示中，若，

ABCGxyAxyBxyCx

，，分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为(，)，(，)，(，)，(，

11223

xxxyyy

＋＋＋＋

yx123y123

)，则有＝，＝.

333

(2)垂心：三角形三条高线的交点叫垂心．它与顶点的连线垂直于对边．在向量表达形

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur

HABCHAHBHBHCHCHAHA2BC2HB2

式中，若是△的垂心，则·＝·＝·或＋＝

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur

CA2HC2AB2HAHBHBHCHCHAHABC

＋＝＋.反之，若·＝·＝·，则是△的垂

心．

(3)内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心．内心就是三角形内切圆的圆心，它到

uuuruur

IABCBCIA

三角形三边的距离相等．在向量表达形式中，若点是△的内心，则有||·＋

uuuruuruuuruuruuuruuruuuruuruuuruur

CAIBABICBCIACAIBABIC

||·＋||·＝0.反