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高中数学竞赛讲义（八）平面向量

第一篇：高中数学竞赛讲义(八)平面向量

高中数学竞赛讲义

（八）──平面向量

一、基础知识

定义1既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来

表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加

箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如

a.|a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是

任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。

定义2方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规

定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。

定理1向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形

法则。加法和减法都满足交换律和结合律。

定理2非零向量a,b共线的充要条件是存在实数

0，使得a=

f

定理3平面向量的基本定理，若平面内的向量a,b不共线，则对

同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x,y，使得c=xa+yb，其

中a,b称为一组基底。

定义3向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的

两个单位向量i,j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一

一组实数x,y，使得c=xi+yi，则（x,y）叫做c坐标。

定义4向量的数量积，若非零向量a,b的夹角为，则a,b的数量

积记作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos，也称内积，其中|b|cos叫做b在a

上的投影（注：投影可能为负值）。定理4平面向量的坐标运算：若

a=(x1,y1),b=(x2,y2)，1．a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-

y2)，2．λa=(λx1,λy1),a·(b+c)=a·b+a·c，3．a·b=x1x2+y1y2,

cos(a,b)=4.a//bx1y2=x2y1,a

b

x1x2+y1y2=0.(a,b0)，定义5若点P是直线P1P2上异于p1，

p2的一点，则存在唯一实数λ，使，λ叫P分所成的比，若O为平面

内任意一点，则。由此可得若P1，P，P2的坐标分别为(x1,y1),(x,

y),(x2,y2)，则

讲义八

/8

定义6设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量

a=(h,k)的方向，平移|a|=个单位得到图形，这一过程叫做平移。设

p(x,y)是F上任意一点，平移到上对应的点为，则称为平移公式。

定理5对于任意向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),|a·b|≤|a|·|b|，并且

|a+b|≤|a|+|b|.【证明】因为|a|2·|b|2-|a·b|2=

-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0，又|a·b|≥0,|a|·|b|≥0，所以

|a|·|b|≥|a·b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.

注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1,x2,…,xn)，

b=(y1,y2,…,yn)，同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：

(x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0，又|a·b|≥0,|a|·|b|≥0，所以

|a|·|b|≥|a·b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.

注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1,x2,…,xn),

b=(y1,y2,…,yn)，同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：

(x1y1+x2y2+…+xnyn)2。

2）对于任意n个向量，a1,a2,…,an，有|a1,a2,…,an|≤|

a1|+|a2|+…+|an|。

二、方向与例题

1．向量定义和运算法则的运用。

例1设O是正n边形A1A2…An的中心，求证：

【证明】记后与原正n边形