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排列组合题型总结

排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。

一．直接法1．特殊元素法

例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个

数字1不排在个位和千位

（2）数字1不在个位，数字6不在千位。

分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择A2，其余2位有四个可供选择A2，由乘法

5 4

原理：A2A2=240

5 4

2．特殊位置法

当1在千位时余下三位有A3=60，1不在千位时，千位有A1种选法，个位有A1种，

5 4 4

余下的有A2，共有A1A1A2=192所以总共有192+60=252

4 4 4 4

二． 间接法 当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（ 2）可用间接法

A4?2A3?A2=252

6 5 4

例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？

分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类

别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数C3?23?A3

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个，其中0在百位的有C2?22?A2个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数

4 2

C3?23?A3-C2?22?A2=432（个）

5 3 4 2

三． 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。

例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？

分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有

A1?A1

=100中插入方法。

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四． 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。

例44名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？

分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有A4种排法，而男生之间又有

4

A4种排法，又乘法原理满足条件的排法有：A4×A4=576

4 4 4

练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法

有 种（C2A3）

4 3

某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排

方法有（C1

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体来选有C1

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A19）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整

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其余的就是19所学校选28天进行排列）

五． 阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法

例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种。

分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的

11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有C7种

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练习1.(a+b+c+d)15有多少项？

当项中只有一个字母时，有C1种（即a.b.c.d而指数只有15故C1?C0。

4 4 14

当项中有2个字母时，有C2而指数和为15，即将15分配给2个字母时，如何分，闸板

4

法一分为2，C1即C2C1

14 4 14

当项中有3个字母时C3指数15分给3个字母分三组即可C3C2

4

当项种4个字母都在时C4

4

C3

14

四者都相加即可．

4 14

练习2．有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的

球数不少编号数，问有多少种不同的方法？（C2）

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不定方程X+X+X+…+X=100中不同的整数解有（C49）

1 2 3 50 99

六． 平均分堆问题 例6 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？

分析：分出三堆书（a,a）,(a,a)，（a,a）由顺序不同可以有A3=6种，而这6种分法

1 2 3 4 5 6

3

C2C2C2

只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有

6 4 2

A3

3