高中数学苏教版第二章平面向量第2章过关检测.docxVIP

第2章过关检测

一、选择题

1.化简()+()+的结果为()

A. B.

C. D.

答案B

解析运用向量加法的多边形法则运算求解.

2.(2023·广东汕头一模)已知向量a=(1,2),2a+b=(3,2),则b=()

A.(1,2) B.(1,-2)

C.(5,6) D.(2,0)

答案B

解析a=(1,2),2a+b=(3,2),则b=(2a+b)-2a=(3,2)-2(1,2)=(3,2)-(2,4)=(3-2,2-4)=(1,-2),故选B.

3.若a=(2,3),b=(4,-1+y),且a∥b,则y等于()

答案A

解析∵a∥b,∴2(-1+y)-3×4=0,

∴y=7.

4.已知|a|=6,e为单位向量,当a,e的夹角为120°时,a·e等于()

答案D

解析a·e=|a|·|e|·cos120°=6×=-3.

5.关于平面向量a,b,c,有下列三个命题:

①若a·b=a·c,则b=c;②若a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,则k=-3;③非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为60°.

其中是真命题的为()

A.① B.①②

C.② D.②③

答案C

解析当a=0时,①不成立;对于②,若a∥b,则-2k=6,∴k=-3,②成立;对于③,由于|a|=|b|=|a-b|,则以|a|,|b|为邻边的平行四边形为菱形,如图.∠BAD=60°,=a+b,由菱形的性质可知,a与a+b的夹角为∠DAC=30°.

6.导学2023·全国丙高考)已知向量,则∠ABC=()

° °

° °

答案A

解析因为,

所以.

又因为=||·||cos∠ABC

=1×1×cos∠ABC=cos∠ABC,

所以cos∠ABC=,即∠ABC=30°.故选A.

二、填空题

7.若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为120°,则a·a+a·b=.?

答案

解析a·a+a·b

=|a|2+|a||b|cos120°=.

8.△ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,=m(),则实数m=.?

答案1

解析设△ABC是直角三角形,∠C=90°,则H与C重合,O为AB的中点,,故m=1.

9.如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若,则的值是.?

答案

解析由,得·()=,即.

又∵,∴=0.

∴.

故=()·()

=

=0+·()+|2+0

=+2=-||2+2

=-2+2=.

10.导学为△ABC中线AM上的一个动点,若AM=2,则·()的最小值是.?

答案-2

解析设||=x,0≤x≤2,

则||=2-x,如图.

由题意易得.

又∵=-,

∴·()=·2

=2||||cos180°=-2||||

=-2x(2-x)=2(x2-2x)=2(x-1)2-2.

当x=1时有最小值-2,此时O为AM的中点.

三、解答题

11.(2023·山西曲沃中学高一期末)已知a=(2,1),b=(-3,-4),c⊥(a-b).

(1)求2a+3b,|a-2b|;

(2)若c为单位向量,求c的坐标.

解(1)∵a=(2,1),b=(-3,-4),

∴2a+3b=(-5,-10),a-2b=(8,9),

∴|a-2b|=.

(2)设c=(x,y),则x2+y2=1,①

∵a=(2,1),b=(-3,-4),

∴a-b=(5,5).

又c⊥(a-b),∴5x+5y=0,

∴y=-x,②

解得

∴c=或c=.

12.导学如图,已知△ABC的三个顶点的坐标为A(-5,-1),B(4,1),C(0,4).

(1)求△ABC的面积.

(2)若四边形ABCD为平行四边形,求D点的坐标.

解(1)设AB边上的高为CE.

设E(x,y),则=(x,y-4),=(x+5,y+1),=(9,2).

由于,则9x+2(y-4)=0.①

由于共线,则2(x+5)-9(y+1)=0.②

由①②解得.

S△ABC=|||

=.

(说明:本题还可用数量积去解).

(2)设D(m,n),

∵=(m+5,n+1),=(-4,3),

又∵,

∴

∴D(-9,2).

13.导学人骑车以每小时a千米的速度向东行驶,感到风从正北方向吹来,而当速度为2a千米/时,感到风从东北方向吹来,试求实际风速和方向.

解设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量,

无风时此人感到风速为-a.

设实际风速为v,那么此人感到的风速为v-a.

如图,设=-a,=-2a,

∵,∴=v-a.

这就是感到由正北方向吹来的风速.

∵,∴=v-