有限元方法 第五章 平面三角形单元.ppt

例如，图3-11(a)所示受纯弯曲的梁，其结构对于x、y轴都是几何对称的，而所受的载荷则是对于x轴对称，对于x轴反对称。可知，梁的应力和变形也将具有同样的对称特性，所以只需取1/4梁进行计算即可。取分离体如图3-11(b)所示，对于其它部分结构对此分离体的影响，可以作相应的处理，即对处于y轴对称面内各节点的x方向位移都设置为零，而对于在x轴反对称面上的各节点的x方向位移也都设置为零。这些条件就等价于在图3-11(b)中相应节点位置处施加约束，图中o点y方向施加的约束是为了消除刚体位移。第63页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三例如，对图5-3所示的单元jm和ijn，具有公共边ij。这样，不论按哪个单元来计算，根据（5-11）式，公共边ij上的位移均由下式表示图5-3由(5-23)式可知，在ij边上式中Ni,Nj的表达形式如（5-23）式所示。(i)利用形函数的这一性质可以证明，相邻单元的位移分别进行线性插值之后，在其公共边上将是连续的。第31页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三由此可见，在公共边上的位移u、v将完全由公共边上的两个节点i、j的位移所确定，因而相邻单元的位移是保持连续的。为了在以后讨论问题中能够比较方便地确定单元中任意一点处的形函数数值，这里引入面积坐标的概念。在图5-4所示的三角形单元ijm中，任意一点P(x,y)的位置可以用以下三个比值来确定图5-4式中?为三角形单元ijm的面积，?i、?j、?m分别是三角形Pjm、Pmi、Pij的面积。这三个比值就叫做P点的面积坐标。(5-24)第32页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三显然这三个面积坐标并不是完全独立的，由于所以有：而三角形pjm的面积为：故有：第33页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三类似地有(5-25)(5-26)由此可见，前述的三角形常应变单元中的形函数Ni、Nj、Nm就是面积坐标Li、Lj、Lm。根据面积坐标的定义，我们不难发现，在平行jm边的直线上的所有各点，都有相同的坐标Li，并且该坐标就等于“该直线至jm边的距离”与“节点i至jm边的距离”之比，图5-4中给出了Li的一些等值线。第34页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三容易看出，单元三个节点的面积坐标分别为节点i：Li=1Lj=0Lm=0节点j：Li=0Lj=1Lm=0节点m：Li=0Lj=0Lm=1不难验证，面积坐标与直角坐标之间存在以下变换关系：(5-27)第35页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三当面积坐标的函数对直角坐标求导时，可利用下列公式：(5-28)第36页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三一.单元刚度矩阵为了推导单元的节点力和节点位移之间的关系，可应用虚位移原理对图5-2中的单元e进行分析。单元e是在等效节点力的作用下处于平衡的，而这种节点力可采用列阵表示为(a)假设在单元e中发生有虚位移，则相应的三个节点i、j、m的虚位移为且假设单元内各点的虚位移为{f*}，并具有与真实位移相同的位移模式。§5-4刚度矩阵第37页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三故有(c)参照（5-13）式，单元内的虚应变{?*}为于是，作用在单元体上的外力在虚位移上所做的功可写为(d)(f)而单元内的应力在虚应变上所做的功为(g)第38页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三这里我们假定单元的厚度t为常量。把（d）式及（5-16）式代入上式，并将提到积分号的前面，则有根据虚位移原理，由（f）和（h）式可得到单元的虚功方程，即注意到虚位移是任意的，所以等式两边与相乘的项应该相等，即得第39页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三记(5-32)则有(5-33)上式就是表征单元的节点力和节点位移之间关系的刚度方程，[k]e就是单元刚度矩阵。如果单元的材料是均质的，那么矩阵[D]中的元素就是常量，并且对于三角形常应变单元，[B]矩阵中的元素也是常量。当单元的厚度也是常量时，因，所以（3-28）式可以简化为[k]e=[B]T[D][B]t?(5-34)第40页，讲稿共8