高中数学苏教版第三章概率几何概型2023版第3章几何概型.docxVIP

几何概型

1．了解几何概型的概念及基本特点．(重点)

2．熟练掌握几何概型的概率公式．(重点、难点)

3．正确判别古典概型与几何概型，会进行简单的几何概型问题计算．(重点、易混点)

4．了解随机数的意义，能运用模拟的方法估计概率．(难点)

[基础·初探]

教材整理几何概型

阅读教材P106～P107“例1”上边的内容，并完成下面的问题．

1．几何概型的定义

设D是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．

2．几何概型的特点

(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限个；

(2)每个基本事件出现的可能性都相等．

3．几何概型的概率计算公式

一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝eq\f(d的测度,D的测度).

判断正误：

(1)几何概型与古典概型的区别就是基本事件具有无限个．()

(2)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关．()

(3)有一杯1升的水，其中漂浮有1个微生物，用一个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有这个微生物的概率时，可用几何概型求解．()

【解析】(1)√.由几何概型的特点可知正确．

(2)√.由几何概型的定义知正确．

(3)√.该试验的基本事件具有无限个，故要用几何概型求解．

【答案】(1)√(2)√(3)√

[小组合作型]

测度为长度的几何概型

(1)在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为________．

(2)某市公交车每隔10min一班，在车站停1min，则乘客能搭上车的概率为________．

【精彩点拨】利用测度为长度的几何概型求解．

【自主解答】(1)设“X≤1”为事件A，则事件A发生表示X∈[－2,1]，

由题意知，D测度为区间[－2,3]长度3－(－2)＝5，

d的测度为区间[－2,1]长度1－(－2)＝3，

即X≤1的概率为P(A)＝eq\f(d,D)＝eq\f(3,5).

(2)由题意知，试验的所有结果构成的区域长度为D＝10min，而事件B的区域长度为d＝1min，故P(B)＝eq\f(d,D)＝eq\f(1,10)，即乘客能搭上车的概率为eq\f(1,10).

【答案】(1)eq\f(3,5)(2)eq\f(1,10)

1．解答本题的关键是将基本事件的全部及其事件A(B)包含的基本事件转化为相应的长度，再进一步求解．

2．求测度为长度的几何概型的步骤．

(1)确定几何区域D，这时区域D可能是一条线段，也可能是几条线段或曲线段，并计算区域D的长度．

(2)确定事件A发生时对应的区域d，判断d的边界点是问题的关键．

(3)利用几何概型概率公式求概率．

[再练一题]

1．在两根相距8m的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于3m的概率是________．

【解析】记“灯与两端距离都大于3m”为事件A，

由于绳长8m，当挂灯的位置介于中间的2m时，事件A发生，于是事件A发生的概率P(A)＝eq\f(2,8)＝eq\f(1,4).

【答案】eq\f(1,4)

测度是面积的几何概型

如图3-3-1，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，则P(A)＝________.

图3-3-1

【精彩点拨】eq\x(判断为几何概型)→eq\x(求出图形的面积)→eq\x(利用公式求概率)

【自主解答】圆的半径是1，则正方形的边长是eq\r(2)，故正方形EFGH(区域d)的面积为(eq\r(2))2＝2.又圆(区域D)的面积为π，则由几何概型的概率公式，得P(A)＝eq\f(2,π).

【答案】eq\f(2,π)

解决此类问题的关键是：

?1?根据题意确认问题是否是与面积有关的几何概型；

?2?确定随机事件对应的几何图形，并利用图形的几何特征计算相关的面积，然后利用公式求解.

[再练一题]

2．如图3-3-2，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是________.

【导学号

图3-3-2

【解析】由几何概型知所求的概率P＝eq\f(S图形DEBF,