全等三角形专题构造全等三角形方法总结文档.docx

专题：构造全等 三角形

利用三角形的中线来构造全等三角形（倍长中线法）

利用三角形的中线来构造全等三角形（倍长中线法）

倍长中线法：即把中线延长一倍，来构造全等三角形。

FE

F

E

B

D

C

G

图1

1、如图1，在△ABC中，AD是中线，BE

交AD于点F，且AE＝EF．

试说明线段AC与BF相等的理由．

简析 由于AD是中线，于是可延长AD到G，使DG＝AD，连结BG，则

在△ACD和△GBD中，AD＝GD，∠ADC＝∠GDB，CD＝BD，所以△ACD≌△GBD（SAS），所以AC＝GB，∠CAD＝∠G，而AE＝EF，所以∠CAD＝∠AFE，

又∠AFE＝∠BFG，所以∠BFG＝∠G，所以BF＝BG，所以AC＝BF．说明 要说明线段或角相等，通常的思路是说明它们所在的两个

三角形全等，而遇到中线时又通常通过延长中线来构造全等三角形．

利用三角形的角平分线来构造全等三角形

利用三角形的角平分线来构造全等三角形

法一：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。在AB上截取AE=AC，连结DE。

（可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。）

戴氏教育集团1努力+勤奋+信心=成功法二：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。延长AC到F，使AF=AB

戴氏教育集团

1

努力+勤奋+信心=成功

法三：在△ABC中，AD平分∠BAC。作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N。(可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形)

（还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证DM=DN）

2、已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°

法一：证明：在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。 法二：延长BA到F，使BF=BC，连结DF。

∵BD是∠ABC的角平分线（已知） ∵BD是∠ABC的角平分线（已知）

∴∠1=∠2（角平分线定义）在△ABD和△EBD中∵ AB=EB

∴∠1=∠2（角平分线定义）在△ABD和△EBD中

∵ AB=EB（已知）

∠1=∠2（已证）

BD=BD（公共边）

∴∠1=∠2（角平分线定义）在△BFD和△BCD中

BF=BC（已知）

∠1=∠2（已证）

BD=BD（公共边）

戴氏教育集团 2 努力+勤奋+信心=成功

∴∠A＝∠3（全等三角形的对应角相等） ∴∠F＝∠C（全等三角形的对应角相等

AD=DE（全等三角形的对应边相等） DF=DC（全等三角形的对应边相等）

∵AD=CD（已知），AD=DE（已证） ∵AD=CD（已知），DF=DC（已证）

∴DE=DC（等量代换） ∴DF=AD（等量代换）

∴∠4=∠C（等边对等角） ∴∠4=∠F（等边对等角）

∵∠3+∠4＝180° （平角定义）， ∵∠F＝∠C（已证）

∠A＝∠3（已证） ∴∠4=∠C（等量代换）

∴∠A+∠C＝180°（等量代换） ∵∠3+∠4＝180°（平角定义）

∴∠A+∠C＝180°（等量代换）

法三：作DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延长线于N。

∵BD是∠ABC的角平分线（已知）

∴∠1=∠2（角平分线定义）

∴∠N=∠DMB=90°（垂直的定义）在△NBD和△MBD中∵ ∠

∴∠N=∠DMB=90°（垂直的定义）在△NBD和△MBD中

∵ ∠N=∠DMB（已证）

∠1=∠2（已证）

BD=BD（公共边）

∴△NBD≌△MBD（A.A.S）

∴ND=MD（全等三角形的对应边相等）

∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知）

∴△NAD和△MCD是Rt△在Rt△NAD和Rt△MCD中

∵ ND=MD（已证）

AD=CD（已知）∴Rt△NAD≌Rt△MCD（H.L）

∴∠4=∠C（全等三角形的对应角相等）

∵∠3+∠4＝180°（平角定义），

∠A＝∠3（已证）

∴∠A+∠C＝180°（等量代换）

法四：作DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延长线于N。

∵BD是∠ABC的角平分线（已知）

DN⊥BA，DM⊥BC（已知）

∴△NAD和△MCD是Rt△在Rt△NAD和

∴△NAD和△MCD是Rt△在Rt△NAD和Rt△MCD中

∵ ND=MD（已证）

AD=CD（已知）∴Rt△NAD≌Rt△MCD（H.L）

∴∠4=∠C

（全等三角形的对应角相等）

∵∠3+∠4＝180°（平角定义）

∠A＝∠3（已证）

∴∠A+∠C＝180°（等量代换）

戴氏教育集团 3 努力+勤奋+信心=成功

利用高