新教材适用2023_2024学年高中数学第2章函数4函数的奇偶性与简单的幂函数4.1函数的奇偶性课件北师大版必修第一册.pptxVIP

4.1函数的奇偶性自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易错辨析随堂练习1.结合具体函数理解奇函数、偶函数的定义.2.了解奇函数、偶函数的图象特征.3.掌握判断函数的奇偶性的方法,能够利用函数的奇偶性解决简单的问题.4.体会数学抽象的过程,感受直观想象在解决问题中的应用,提升运算能力以及逻辑推理能力.课标定位素养阐释自主预习·新知导学一、奇函数和偶函数的定义【问题思考】试分别针对上述函数计算f(-x),并判断f(-x)与f(x)具有怎样的关系.提示:①④满足f(-x)=f(x);②⑤满足f(-x)=-f(x);③既不满足f(-x)=f(x)也不满足f(-x)=-f(x).2.(1)一般地,设函数f(x)的定义域是D,如果对任意的x∈D,有-x∈D,且f(-x)=-f(x),那么称函数f(x)为奇函数.(2)设函数f(x)的定义域是D,如果对任意的x∈D,有-x∈D,且f(-x)=f(x),那么称函数f(x)为偶函数.(3)当函数f(x)是奇函数或偶函数时,称f(x)具有奇偶性,奇函数和偶函数的定义域均关于原点对称.提示:根据奇函数的定义知,满足这两种对应关系的函数都是奇函数.4.若函数f(x)是定义在R上的奇函数,且有f(a)=2,则f(-a)=.?答案:-2二、奇函数和偶函数的图象特征【问题思考】1.如图给出的函数图象中,关于y轴对称的有哪些?关于原点对称的呢?提示:①②关于y轴对称,③④关于原点对称.2.(1)奇函数的图象关于原点对称,反之亦然.(2)偶函数的图象关于y轴对称,反之亦然.3.如图给出的图象对应的函数是奇函数的是,是偶函数的是(填序号).?答案:②④①③【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)奇函数的图象一定过原点.(×)(2)定义在R上的函数f(x),若存在x0,使f(-x0)=f(x0),则函数f(x)为偶函数.(×)(3)函数y=x2,x∈(-1,1]是偶函数.(×)(4)函数f(x)=x|x|是奇函数.(√)合作探究·释疑解惑探究四探究一探究二探究三探究一函数奇偶性的判断判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法(2)图象法【变式训练1】判断下列函数的奇偶性:(2)f(x),g(x)是定义在R上的奇函数,试判断y=f(x)+g(x),y=f(x)g(x),y=f(g(x))的奇偶性.∴函数f(x)的定义域为[-2,2),不关于原点对称.故函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.(2)∵f(x),g(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)],f(-x)g(-x)=[-f(x)]·[-g(x)]=f(x)g(x),f(g(-x))=f(-g(x))=-f(g(x)),∴y=f(x)+g(x)是奇函数,y=f(x)g(x)是偶函数,y=f(g(x))是奇函数.探究二奇函数、偶函数的图象问题【例2】设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)0的解集为.分析:根据函数的奇偶性,画出函数在区间[-5,0]上的图象,根据图象写出不等式的解集.解析:由题意知,函数f(x)在区间[-5,0]上的图象与在区间[0,5]上的图象关于原点对称,画出函数f(x)在区间[-5,0]上的图象,观察图象,可得f(x)0的解集为(-2,0)∪(2,5].?答案:(-2,0)∪(2,5]1.本例条件不变,试比较f(-1)与f(-3)的大小.解:由图中可知,f(1)0,f(3)0,所以f(1)f(3).又函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1),f(-3)=-f(3),故f(-1)f(-3).2.若把本例中的奇函数改为偶函数,其他条件不变,求不等式f(x)0的解集.解:由于f(x)是偶函数,y轴右侧的图象已知,结合偶函数的图象关于y轴对称,画出y轴左侧的图象,如图所示.?由图象知,x∈[-5,-2)时,f(x)0;x∈(2,5]时,f(x)0,所以f(x)0的解集为[-5,-2)∪(2,5].巧用奇偶性画函数图象的步骤(1)确定函数的奇偶性.(2)画出函数图象在y轴右侧(或y轴左侧)的部分.(3)根据奇(偶)函数的图象关于原点(y轴)对称得出y轴左侧(或y轴右侧)对应的函数图象.利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题.【变式训练2】如图给出了定义域为[-2,2]的偶函数y=f(x)的部分图象,试画出此函数在区间[-2,0]上的图象,并写出使f(x)0的x的取值集合.解:因为偶函数的图象关于y轴对称,所以可得到此函数在区间[-2,0]上的图象如图.?由图象可知,当x∈[-2,0)时,f(x