新教材适用2023_2024学年高中数学第2章函数3函数的单调性和最值课件北师大版必修第一册.pptxVIP

§3函数的单调性和最值;自主预习·新知导学;;自主预习·新知导学;一、增函数与减函数

【问题思考】

1.观察下面两个图象,从图形上看,它们有什么特征?

(1)(2);2.观察下表,通过表中对应值你发现了什么?;3.设函数y=f(x)的定义域是D,I是定义域D上的一个区间:

如果对于任意的x1,x2∈I,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就称函数y=f(x)在区间I上单调递增.这时,区间I叫作函数y=f(x)的单调递增区间.

如果对于任意的x1,x2∈I,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就称函数y=f(x)在区间I上单调递减.这时,区间I叫作函数y=f(x)的单调递减区间.

如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就称函数y=f(x)在区间I上具有单调性.单调递增区间和单调递减区间统称单调区间.;如果对于定义域D上任意的x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就称函数y=f(x)是增函数.

如果对于定义域D上任意的x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就称函数y=f(x)是减函数.;4.(1)如果在函数y=f(x)中有f(1)f(2),能否得到函数f(x)为增函数?

(2)若函数y=f(x)在定义域D上是减函数,D1?D,则y=f(x)在D1上具有怎样的单调性?

(3)任何函数在定义域上都具有单调性吗?;提示:(1)不能,函数单调性的定义中规定任取x1,x2,当x1x2时,f(x1)f(x2),则函数y=f(x)为增函数,而1和2只是定义域上的两个特殊值,不能说明对任意的x1x2,都有f(x1)f(x2),所以由f(1)f(2)不能得出函数为增函数.

(2)单调递减.

(3)函数的单调性是指函数在定义域内或定义域的某个区间内的变化趋势,是递增或递减的一种定性描述,它是函数的局部性质.有的函数不具有单调性,例如:函数;5.(多选题)下列函数中,满足对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1x2时,都有f(x1)f(x2)的是().

A.f(x)=x2 B.f(x)=

C.f(x)=|x| D.f(x)=2x+1

答案:ACD;二、最大(小)值

【问题思考】

1.在下图表示的函数中,最大的函数值和最小的函数值分别是多少?1为什么不是最小值?;2.设函数y=f(x)的定义域是D:若存在实数M,对于所有的x∈D,都有f(x)≤M,且存在x0∈D,使得f(x0)=M,则称M为函数y=f(x)的最大值.同样地,可以定义函数y=f(x)的最小值.函数的最大值和最小值统称为最值.

3.若函数f(x)≤M,则M一定是函数的最大值???

提示:不一定,只有定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是函数的最大值,否则不是.;答案:A;【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.

(1)如果函数f(x)在区间(a,b)和区间(c,d)上都是单调递减的,则f(x)在区间(a,b)∪(c,d)上是单调递减的.(×)

(2)函数f(x)为R上的减函数,则f(-2)f(2).(√)

(3)函数y=x2在区间[-1,2]上是单调的.(×);合作探究·释疑解惑;探究一证明函数的单调性;证明函数单调性的方法主要是定义法(在解答选择题或填空题时有时可用图象法),利用定义法证明函数单调性的步骤;探究二确定(求)函数的单调区间;解析:(1)观察题中图象可知,y=f(x)的单调区间有[-5,-2],[-2,1],[1,3],[3,5].其中y=f(x)在区间[-5,-2],[1,3]上单调递增,在区间

[-2,1],[3,5]上单调递减.;利用函数图象确定函数的单调区间,具体做法:先化简函数解析式,再画出它的草图,最后根据函数定义域与草图的位置、状态,确定函数的单调区间.求函数的单调区间不能忽视定义域,单调区间应是定义域的子集.;探究三函数单调性的应用;1.若函数f(x)=ax2-2x+2在区间(-∞,4)上单调递减,求实数a的取值范围.;3.若函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)f(2a-1),求实数a的取值范围.;函数单调性应用的两个关注点

(1)单调性定义的“双向性”:利用定义可以判断、证明函数的单调性,反过来,若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.

(2)若一个函数在区间[a,b]上是单调的,则此函数在这一单调区间的任意子区间上也是单调的.;【变式训练3】已知函数f(x)=x2+ax+b.

(1)若函数f(x)的图象过点(1,4)和(2,5),求f(x)的解析式.

(2)若函数f(x)在区间[