新教材适用2023_2024学年高中数学第2章函数复习课北师大版必修第一册.docVIP

第2课时函数

课后训练巩固提升

一、A组

1.已知幂函数f(x)的图象过点2,22,则f(8)的值为(

A.24 B.28 C.22 D.

解析:设f(x)=xα.∵函数f(x)的图象过点2,

∴22=2α,∴α=-1

∴f(x)=x-12,∴f(8)

答案:A

2.函数f(x)=1-x+2x

A.(-∞,0) B.(0,1]

C.(-∞,1] D.(-∞,0)∪(0,1]

解析:要使函数f(x)有意义,需有1-x≥0,x≠0,解得x≤1,且x≠0,∴函数f(x)的定义域为

答案:D

3.已知f(x)是一次函数,且f(x-1)=3x-5,则f(x)的解析式为().

A.f(x)=3x+2 B.f(x)=3x-2

C.f(x)=2x+3 D.f(x)=2x-3

解析:设f(x)=kx+b(k≠0),

则f(x-1)=k(x-1)+b=3x-5,

即kx-k+b=3x-5,

∴k=3,b-k=-5,解得k=3,b=-2,∴

答案:B

4.(多选题)已知f(x)=x2-6x+8,x≥0,2x+3,x0,若互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)

A.x1∈(-2,0)

B.x1+x2+x3的取值范围为(4,6)

C.x2+x3=6

D.x1+x2=0

解析:作出函数图象如图所示.

函数y=x2-6x+8图象的对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,-1),对于函数y=2x+3,当x=-2时,y=-1.因为互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),且x1x2x3,所以x1∈(-2,0),x2,x3关于直线x=3对称,所以x2+x3=6,所以4x1+x2+x36.由于x1,x2不一定关于y轴对称,所以x1+x2=0不一定成立.

答案:ABC

5.函数f(x)=x+1x的定义域是

解析:由x+1≥0,x≠0,得x≥-1,且x≠0.∴函数f(x)=x+1x

答案:[-1,0)∪(0,+∞)

6.设函数f(x)=(x+1)(x+a)

解析:因为函数f(x)=(x+1

所以f(-x)=-f(x),

即(-x

整理,得(a+1)x=0,又x≠0,所以a+1=0,

解得a=-1.

答案:-1

7.已知函数f(x)=(m2-2m+2)x1-3m是幂函数.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论;

(3)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并证明你的结论.

解:(1)因为函数f(x)=(m2-2m+2)x1-3m是幂函数,

所以m2-2m+2=1,解得m=1,故f(x)=x-2.

(2)函数f(x)为偶函数.

证明如下:由(1)知f(x)=x-2,其定义域为{x|x≠0},关于原点对称,因为对于定义域内的任意x,都有f(-x)=(-x)-2=1(-x)2=1x2=x-2=f(x),所以函数f

(3)f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.

证明如下:在区间(0,+∞)上任取x1,x2,不妨设0x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1

∵x1,x2∈(0,+∞),且x1x2,

∴x2-x10,x2+x10,x12

∴f(x1)-f(x2)0,

即f(x1)f(x2),

∴f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.

二、B组

1.函数y=f(x)与y=g(x)的图象如下图,则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是().

解析:由于函数y=f(x)·g(x)的定义域是函数y=f(x)与y=g(x)的定义域的交集,即(-∞,0)∪(0,+∞),所以函数y=f(x)·g(x)的图象在x=0处是断开的,故可以排除C,D;

由于当x为很小的正数时,f(x)0,且g(x)0,因此f(x)·g(x)0,可排除B,故选A.

答案:A

2.(多选题)若f(x)是偶函数,其定义域为(-∞,+∞),且在区间[0,+∞)内单调递减,则下列关系正确的是().

A.f(-1)f(15)

B.f(-a2-b2)≤f(2|ab|)

C.f-32≥

D.f(3+m)f1

解析:∵f(x)是偶函数,且在区间[0,+∞)内单调递减,

∴f(15)f(1)=f(-1).故A错误.

∵a2+b2≥2|ab|≥0,

∴f(2|ab|)≥f(a2+b2)=f(-a2-b2).故B正确.

∵a2+2a+52=(a+1)2+3

∴fa2+2a+52≤f32

∵3+m1

∴f(3+m)f12+m.故

答案:BC

3.已知定义在R上的奇函数f(x)在区间[0,+∞)内单调递减,若f(x2-2x+a)f(x+1)对任意的x∈[-1,2]恒成立,则实数a的取值范围为.?

解析:依题意,得f(x)在R上是减函数,所以f(x2-2x+a)f(x+1)对任意的x∈[-1,2]恒成立,等价于x2-2x+ax+1对