新教材适用2023_2024学年高中数学第2章函数4函数的奇偶性与简单的幂函数4.2简单幂函数的图象和性质课件北师大版必修第一册.pptxVIP

4.2简单幂函数的图象和性质自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易错辨析随堂练习1.理解幂函数的概念.2.学会以简单的幂函数为例研究函数性质的方法.3.理解和掌握幂函数的图象在第一象限的分类特征.4.能运用数形结合的方法处理与幂函数有关的问题,加强直观想象能力素养的培养.课标定位素养阐释自主预习·新知导学一、幂函数的概念【问题思考】1.给出下列5个问题:①如果张红购买了1元/kg的蔬菜wkg,那么她需要支付p=w元,这里p是w的函数.②如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数.③如果正方体的棱长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数.④如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长,这里a是S的函数.⑤如果某人ts内骑车行进了1m,那么他骑车的平均速度v==t-1m/s,这里v是t的函数.(1)上述5个问题中,若自变量都用x表示,因变量都用y表示,则对应的函数关系式分别是什么?(2)上述5个问题中的函数有什么共同特征?(2)都是自变量出现在底数的位置上,指数为常数,幂为函数值的函数.2.一般地,形如y=xα(α为常数)的函数,即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数.3.一元二次函数都是幂函数吗?提示:不一定.如y=3x2,y=x2-3x+2都不是幂函数.只有二次项系数为1,无一次项和常数项的一元二次函数才是幂函数.二、幂函数的图象与性质【问题思考】(1)观察上图,将你发现的结论写在下表内.(2)通过对上述5个幂函数的图象分析,哪个象限一定有幂函数的图象?哪个象限一定没有幂函数的图象?提示:第一象限一定有幂函数的图象,第四象限一定没有幂函数的图象.2.幂函数的性质(1)图象都过点(1,1).(2)α为奇数时,y=xα为奇函数;α为偶数时,y=xα为偶函数.(3)当α0时,y=xα在区间(0,+∞)上单调递增;当α0时,y=xα在区间(0,+∞)上单调递减.【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)函数y=2x3,y=x2+1和y=(x+1)3都是幂函数.(×)(2)幂函数y=xα的定义域为R.(×)(2)若幂函数y=f(x)是一元二次函数,则f(2)=4.(√)合作探究·释疑解惑探究一探究二探究三探究一幂函数的概念?【例1】(1)(多选题)下列函数是幂函数的有().A.y=x-2 B.y=x0 C.y=2x D.(2)若函数f(x)=(2m+3)是幂函数,则m的值为().A.-1 B.0 C.1 D.2解析:(1)根据幂函数的定义可知,选项A,B,D均符合题意.(2)幂函数是形如f(x)=xα的函数,所以2m+3=1,解得m=-1.答案:(1)ABD(2)A形如y=xα的函数叫幂函数,它具有三个特点(1)xα的系数为1.(2)指数为常数.(3)底数为自变量.答案:B探究二幂函数的图象【例2】若幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一平面直角坐标系中的图象如图2-4-6,则a,b,c,d的大小关系是().A.dcba B.abcdC.dcab D.abdc解析:在第一象限内,直线x=1的右侧部分的图象由下至上,对应幂函数的幂指数依次增大,所以abcd.故选B.答案:B1.幂函数的图象一定出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限内,图象最多只能同时出现在两个象限内,至于是否在第二或第三象限内出现要看幂函数的奇偶性.2.幂函数y=xα的图象分布与幂指数α的关系具有如下规律:在直线x=1的右侧,按“逆时针”方向,图象所对应的幂指数依次增大(如图).【变式训练2】已知(a+1)-1(3-2a)-1,求a的取值范围.探究三幂函数的性质及应用1.比较幂值大小的方法(1)若指数相同,底数不同,则考虑利用幂函数的单调性比较大小.(2)若指数不同,底数相同,则考虑借助图象求解.(3)若指数与底数都不同,则考虑插入中间数,使这个数介于所比较的两数之间,进而比较大小.2.利用幂函数的性质解不等式的步骤(1)确定可以利用的幂函数.(2)借助相应的幂函数的单调性,将不等式的大小关系,转化为自变量的大小关系.(3)解不等式(组)求参数范围,注意分类讨论思想的应用.【变式训练4】已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm+1(m∈R)为偶函数.(1)求f(x)的解析式;(2)若f(2a+1)16,求实数a的取值范围.解:(1)因为幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm+1(m∈R)为偶函数,所以m2-5m+7=1,解得m=2或m=3.当m=2时,m+1=3不符合题意,舍去;当m=3时,m+1=4符合题意,所以f(x)=x4.(2)由(1)知,不等式f(2a+1)16可化为(2a+1)