平面与平面垂直的性质定理课件.pptx

平面与平面垂直的性质定理

CONTENTS

平面与平面垂直的定义

平面与平面垂直的性质定理证明

平面与平面垂直的性质定理应用

平面与平面垂直的性质定理扩展

平面与平面垂直的性质定理练习及解析

平面与平面垂直的定义

01

如果两个平面没有公共点，则称这两个平面垂直。

设α和β是两个平面，用符号⊥表示α⊥β。

在空间中，垂直于同一平面的两个平面可以相互垂直。

定义

符号表示

实例

如果两个平面之间的夹角为直角，则称这两个平面垂直。

设α和β是两个平面，用符号⊥表示α⊥β。

正方体相邻的三个面与同一平面的夹角都是直角，所以这三个面都与该平面垂直。

定义

符号表示

实例

平面与平面垂直的性质定理证明

02

02

01

03

04

05

06

假设两个平面α和β不垂直，那么它们的交线l与α不垂直。

根据直线的性质，过直线l上的一点P作α的垂线m，则m与l相交。

根据平面的性质，过直线l有且只有一条与α垂直的直线，即m。

由于m和m都与α垂直，它们平行或重合。

但m和m都经过点P，与公理矛盾。

所以假设不成立，两个平面α和β垂直。

01

03

02

假设向量a和向量b分别表示两个平面的法向量，那么a·b=0。

如果两个向量的数量积为零，那么这两个向量垂直。

04

根据平面的性质，两个法向量垂直的平面垂直。

由于a·b=0，所以两个平面的法向量垂直。

如果三角形ABC的边AB和边AC分别在两个平面α和β上，且BC是这两个平面的交线，那么三角形ABC的中位线DE平行于交线BC。

如果平面α和β不垂直，那么交线BC与平面α不垂直。

根据直线的性质，由于DE平行于BC，所以DE与平面α不垂直。

但DE是三角形ABC的中位线，所以DE与平面α垂直。

这与前面的结论矛盾。

所以假设不成立，两个平面α和β垂直。

平面与平面垂直的性质定理应用

03

通过平面与平面垂直的性质定理，可以证明三角形内角和为180度。

三角形内角和定理

利用平面与平面垂直的性质定理，可以推导出四边形内角和为360度。

四边形内角和定理

通过平面与平面垂直的性质定理，可以证明两条直线平行时，它们所在平面的交线与这两条直线平行。

平行线判定定理

利用平面与平面垂直的性质定理，可以证明抛物线上的任意一点到焦点和到准线的距离相等。

抛物线性质

通过平面与平面垂直的性质定理，可以证明椭圆和圆的切线与直径垂直。

椭圆和圆性质

利用平面与平面垂直的性质定理，可以推导出直线斜率公式，即线的倾斜角正切值等于该线上两点的纵坐标差与横坐标差之商。

直线斜率公式

平面与平面垂直的性质定理扩展

04

向量垂直：如果两个向量互相垂直，则它们的点积为零。

在二维空间中，如果两个向量的点积为零，则它们互相垂直。

两个向量垂直的充要条件是它们的数量积为零。

在三维空间中，如果两个向量的点积为零，则它们互相垂直，但需要注意的是，零向量与任何向量都垂直。

两平面垂直的充要条件是它们的法向量互相垂直。

两平面垂直的充要条件是它们的法向量内积为零。

在空间坐标系中，如果两个平面的法向量内积为零，则它们互相垂直。

平面与平面垂直的性质定理练习及解析

05

如果两个平面相交，并且其中一个平面垂直于交线，那么这条交线必须垂直于另一个平面。

总结词

设两个平面分别为α和β，交线为l，垂直于交线的平面为γ。首先，设a是γ内的一条直线，且a与l不平行。因为γ垂直于α，所以a与α也不平行。因为l是α和β的交线，所以a与β也不平行。根据定理，垂直于平面上一条直线且不与该平面平行的直线必定垂直于该平面的另一个垂直于该直线的平面。因此，a垂直于β。

详细描述

VS

两个平行平面的夹角等于其中一个平面内的一组平行线与另一个平面的夹角。

详细描述

设两个平行平面分别为α和β，一组平行线为a1,a2,...,an，交线为l。首先，设γ是α和β的公垂线，且γ与l不平行。因为γ是α和β的公垂线，所以γ与a1,a2,...,an都垂直。因此，γ与a1,a2,...,an确定的平面与α和β都垂直。设θ是γ与a1,a2,...,an确定的平面与α的夹角。因为γ与a1,a2,...,an都垂直，所以θ等于α和β的夹角。

总结词

总结词

在一个平面内，垂直于两个平行平面的直线必定垂直于这两个平行平面。

详细描述

设两个平行平面分别为α和β，直线m垂直于α和β。设γ是α和β的公垂线，且γ与m不平行。因为m垂直于α和β，所以m与γ也垂直。因此，m必定垂直于α和β。

谢谢您的聆听

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