新教材适用2023_2024学年高中数学第2章函数4函数的奇偶性与简单的幂函数4.1函数的奇偶性课后训练北师大版必修第一册.docVIP

4.1函数的奇偶性

课后训练巩固提升

一、A组

1.函数f(x)=x2+3(

A.是奇函数,但不是偶函数

B.是偶函数,但不是奇函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数,也不是偶函数

解析:因为函数f(x)=x2+3的定义域为R,且f(-x)=(-x)2+3=x2+3=f(x),f(-x)≠-f(x

答案:B

2.函数f(x)=x3+1x的图象关于()

A.原点对称 B.y轴对称

C.直线y=x对称 D.直线y=-x对称

解析:函数f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称.

又f(-x)=(-x)3+1-x=-x3+

所以f(x)是奇函数.故其图象关于原点对称.

答案:A

3.设f(x)是定义在R上的偶函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)等于().

A.-3 B.-1 C.1 D.3

解析:∵f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=2x2-x,

∴f(1)=f(-1)=2×(-1)2-(-1)=2+1=3.

故选D.

答案:D

4.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且有f(3)f(1),则下列各式一定成立的是().

A.f(-1)f(3) B.f(0)f(5)

C.f(3)f(2) D.f(2)f(0)

解析:因为f(x)为定义在R上的偶函数,

所以f(-1)=f(1).

又f(3)f(1),所以f(3)f(-1).

而B,C,D项中的大小关系不确定.

答案:A

5.已知函数f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)等于().

A.-26 B.-18 C.-10 D.10

解析:令g(x)=x5+ax3+bx,则函数g(x)的定义域为R,且g(-x)=-g(x),即g(x)为奇函数.

∵f(-2)=10,f(x)=g(x)-8,

∴f(-2)=g(-2)-8=10,解得g(-2)=18.

∴g(2)=-18.

∴f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.

答案:A

6.(多选题)若函数y=f(x)(x∈R)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在函数y=f(x)图象上的是().

A.(a,-f(a)) B.(-a,-f(a))

C.(-a,-f(-a)) D.(-a,f(-a))

解析:∵f(x)(x∈R)为奇函数,∴f(-a)=-f(a),

∴点(-a,-f(a))和点(-a,f(-a))一定在函数y=f(x)的图象上.

答案:BD

7.已知函数f(x)的定义域为R,且当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2.若f(x)为奇函数,则f(2)=,f(0)=;若f(x)为偶函数,则f(2)=.?

解析:若f(x)为奇函数,则f(2)=-f(-2)=-[2×(-2)3+(-2)2]=12,f(0)=0.

若f(x)为偶函数,则f(2)=f(-2)=-12.

答案:120-12

8.已知函数f(x)为奇函数,且当x0时,f(x)=x2+1x,求f(-2)的值

解:因为当x0时,f(x)=x2+1x

所以f(2)=22+12

又因为函数f(x)为奇函数,

所以f(-2)=-f(2)=-92

9.求证:函数f(x)=x2+1x2的图象关于y

证明:函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).

因为?x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有-x∈(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=(-x)2+1(-x)2=x2+1x2=f(x),所以函数

故f(x)的图象关于y轴对称.

二、B组

1.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)=x(1-x),则当x0时,f(x)=().

A.-x(x-1) B.-x(x+1)

C.x(x-1) D.x(x+1)

解析:设x0,则-x0,所以f(-x)=-x(1+x).

又f(x)为R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-f(x)=-x(1+x),所以f(x)=x(1+x).

答案:D

2.若对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y),则函数f(x)满足().

A.f(0)=0且f(x)为奇函数

B.f(0)=0且f(x)为偶函数

C.f(x)为增函数且为奇函数

D.f(x)为增函数且为偶函数

解析:∵对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),∴令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)=2f(0),

∴f(0)=0.

令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,∴f(-x)=-f(x),∴函数f(x)为奇函数.

答案:A

3.(多选题)设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,例如:[-3.5]=-4,[2.1]=2.已知函数f(x)=x21+x2-12,g(x)=[f(

A.g(x)是偶函数

B.f(x)是