新教材适用2023_2024学年高中数学第2章函数3函数的单调性和最值课后训练北师大版必修第一册.docVIP

§3函数的单调性和最值

课后训练巩固提升

一、A组

1.(多选题)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则对于任意x1,x2∈[a,b](x1≠x2),下列结论正确的是().

A.f(x

B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0

C.f(a)f(x1)f(x2)≤f(b)

D.f(x1)≠f(x2)

解析:由函数单调性的定义知,函数f(x)在给定区间上单调递增,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A,B正确;

对于C,若x1x2,则f(x1)f(x2),故C不正确;

对于D,因为f(x)在区间[a,b]上单调,且x1≠x2,

所以f(x1)≠f(x2),故D正确.

答案:ABD

2.若函数f(x)=ax+1在R上是减函数,则函数g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间是().

A.[2,+∞) B.(-∞,2]

C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]

解析:因为函数f(x)=ax+1在R上是减函数,所以a0,所以g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间为函数h(x)=x2-4x+3的单调递减区间.

又函数h(x)=x2-4x+3的单调递减区间为(-∞,2],故g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间是(-∞,2].

答案:B

3.若函数f(x)=4x2-kx-8在区间[5,8]上是单调函数,则实数k的取值范围是().

A.(-∞,40]

B.(40,64)

C.(-∞,40]∪[64,+∞)

D.[64,+∞)

解析:由f(x)=4x2-kx-8=4x-k82-k216-8,得函数图象的对称轴为直线x=k8,又函数f(x)在区间[5,8]上是单调函数,则k8≤5或k8

答案:C

4.函数g(x)=x2-4x+3,x∈(1,4]的值域是().

A.[-1,+∞) B.[0,3]

C.(-1,3] D.[-1,3]

解析:g(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,当x=2时,g(x)取得最小值-1;

当x=4时,g(x)取得最大值3,所以函数g(x)的值域为[-1,3].

答案:D

5.已知函数f(x)=(a+3)x-5,x≤1,2ax,x

解析:依题意得a

解得-2≤a0.

故实数a的取值范围是[-2,0).

答案:[-2,0)

6.某社区积极响应党的二十大关于推进城乡人居环境整治的号召,改善社区居民的居住环境.如图,欲在一块锐角三角形空地中,建一座内接矩形花园(阴影部分).设该矩形花园的一边长为xm,则当x=时,该内接矩形花园的面积最大,最大面积为m2.?

解析:设矩形花园与边长为x的一边相邻的另一边的长为ym,且0y40,则由题意可得x40=40-y40,即y=40-x(0x40),于是矩形花园的面积S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400(0x40),故当x=20时,

答案:20400

7.函数y=-x2+3x

解析:画出函数y=-x2+3x,x0,

答案:0

8.已知函数f(x)=2x-1(x

(1)判断函数f(x)的单调性,并证明;

(2)求函数的最大值和最小值.

解:(1)函数f(x)在区间[2,6]上是减函数.

证明:设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=2x

由2≤x1x2≤6,得x2-x10,(x1-1)(x2-1)0,于是f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以函数f(x)=2x-1是区间

(2)由(1)可知,函数f(x)=2x-1(x∈[2,6])在x=2处取得最大值,且最大值是2,在x=6处取得最小值,

9.已知函数f(x)=a-2x

(1)若2f(1)=f(2),求a的值;

(2)判断f(x)在区间(-∞,0)上的单调性并用定义证明.

解:(1)∵2f(1)=f(2),

∴2(a-2)=a-1,∴a=3.

(2)f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,证明如下:

任取x1,x2∈(-∞,0),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=a-

∵x1x20,

∴x1x20,x1-x20,

∴f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).

∴f(x)=a-2x在区间(-∞,0)上是增函数

10.已知函数f(x)=-x2+2x-3.

(1)求f(x)在区间[2a-1,2]上的最小值g(a);

(2)求g(a)的最大值.

解:(1)由题意得,f(x)=-(x-1)2-2,f(2)=-3,f(0)=-3,2a-12.

所以当2a-1≤0,即a≤12时,f(x)最小值=f(2a-1)=-4a2+8a-6

当02a-12,即12a32

f(x)最小值=f(2)=-3.

所以g(a)=-

(2)由(1)知,当a≤12时,g(a)=-4a2+8a-6单调递