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第六节立体几何中的向量方法
——证明平行与垂直
一、教材概念·结论·性质重现
1.直线的方向向量与平面的法向量
直线的
方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量,一条直线的方向向量有无数个
平面的
法向量
直线l⊥平面α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的法向量.显然一个平面的法向量有无数个,它们是共线向量
(1)若l是空间一条直线,A,B是l上任意两点,则eq\o(AB,\s\up6(→))及与eq\o(AB,\s\up6(→))平行的非零向量均为直线l的方向向量.
(2)设a,b是平面α内两个不共线向量,n为平面α的法向量,则求法向量的方程组为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·a=0,,n·b=0.))
2.空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2
l1∥l2
n1∥n2?n1=λn2
l1⊥l2
n1⊥n2?n1·n2=0
直线l的方向向量为n,平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m?m·n=0
l⊥α
n∥m?n=λm
平面α,β的法向量分别为n,m
α∥β
n∥m?n=λm
α⊥β
n⊥m?n·m=0
用向量知识证明立体几何问题,仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行,只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,即化归为证明线线平行,用向量方法证明直线a∥b,只需证明向量a=λb(λ∈R)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行,仍需强调直线在平面外.
二、基本技能·思想·活动体验
1.判断下列说法的正误,对的打“√”,错的打“×”.
(1)直线的方向向量是唯一确定的. (×)
(2)平面的单位法向量是唯一确定的. (×)
(3)若两平面的法向量平行,则两平面平行. (√)
(4)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行. (√)
(5)若a∥b,则a所在直线与b所在直线平行. (×)
(6)若空间向量a平行于平面α,则a所在直线与平面α平行. (×)
2.若直线l的方向向量a=(1,-3,5),平面α的法向量n=(-1,3,-5),则有()
A.l∥α B.l⊥α
C.l与α斜交 D.l?α或l∥α
B解析:由a=-n知,n∥a,则有l⊥α.故选B.
3.平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k).若α∥β,则k等于()
A.2 B.-4
C.4 D.-2
C解析:因为α∥β,所以两平面的法向量平行,所以eq\f(-2,1)=eq\f(-4,2)=eq\f(k,-2),所以k=4.
4.若平面α,β垂直,则下面可以作为这两个平面的法向量的是()
A.n1=(1,2,1),n2=(-3,1,1)
B.n1=(1,1,2),n2=(-2,1,1)
C.n1=(1,1,1),n2=(-1,2,1)
D.n1=(1,2,1),n2=(0,-2,-2)
A解析:两个平面垂直时其法向量也垂直,只有选项A中的两个向量垂直.
5.两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),则l1与l2的位置关系是________.
平行解析:因为v2=-2v1,所以v1∥v2.又l1与l2不重合,所以l1∥l2.
考点1利用空间向量证明平行问题——基础性
1.如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点,则平面EFG与平面PBC的位置关系是()
A.相交 B.平行
C.垂直 D.不能确定
B解析:因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA⊥AD,且四边形ABCD为正方形,所以AB,AP,AD两两垂直,以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).
因为eq\o(EF,\s\up6(→))=(0,1,0),eq\o(BC,\s\up6(→))=(0,2,0),
所以eq\o(BC,\s\up6(→))=2eq\o(EF,\s\up6(→)),所以BC∥EF.
又因为EF平面PBC,BC?平面PBC,
所以EF∥平面PBC,
同理可证GF∥PC,从而得出GF∥平面PBC.
又EF∩GF=F,EF?平面EFG,FG?平面EFG,所以平面EFG∥平面PBC.
2.如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABC
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