新教材适用2023_2024学年高中数学第2章函数4函数的奇偶性与简单的幂函数4.2简单幂函数的图象和性质课后训练北师大版必修第一册.docVIP

4.2简单幂函数的图象和性质

课后训练巩固提升

一、A组

1.下列说法正确的有().

①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0);

②幂函数的图象不可能在第四象限;

③n=0时,函数y=xn的图象是一条直线;

④当n0时,幂函数y=xn是增函数;

⑤当n0时,幂函数y=xn在第一象限内函数值y随自变量x的增大而减小.

A.①④ B.④⑤ C.②③ D.②⑤

解析:y=1x的图象不过点(0,0),所以①错误,排除A;当n=0时,y=xn的图象为直线除去一点,③错误,排除C;当n=2时,y=x2在整个定义域上不具有单调性,④错误,排除B.因此答案选D

答案:D

2.如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是().

(第2题)

A.nm0

B.mn0

C.nm0

D.mn0

解析:由题中图象可知,两函数在第一象限内单调递减,故m0,n0,且2m2n,则mn.

答案:A

3.已知点a,12在幂函数f(x)=(a-1)xb的图象上,则函数f(x)是(

A.奇函数

B.偶函数

C.定义域内的减函数

D.定义域内的增函数

解析:∵f(x)=(a-1)xb是幂函数,

∴a-1=1,解得a=2.

∵点a,12在幂函数f(x)=(a-1)x

即点2,12在幂函数f(x)=x

∴f(2)=2b=12,解得b=-1,∴f(x)=1

故函数f(x)是奇函数,在定义域内不是单调函数.

答案:A

4.若幂函数y=(m2-3m+3)xm2-m-2的图象不过原点,

解析:由题意知,m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,解得m=1或m=2.经检验m=1或m=2均符合题意,即m=1或m=2.

答案:1或2

5.为了保证信息的安全传输,有一种密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=xα(α为常数),若“4”通过加密后得到密文“2”,现接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是.?

解析:由题意得2=4α,解得α=12,则y=x

由x=3,得x=9.

答案:9

6.已知函数f(x)=2x-xm,且f(4)=-7

(1)求m的值;

(2)判断f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并给予证明.

解:(1)∵f(4)=-72,∴24-4m=-72,解得

(2)由(1)知,f(x)=2x-x,其在区间(0,+∞)上单调递减

证明如下:

任取x1,x2∈(0,+∞),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=2x1-x1-2x2

∵0x1x2,∴x2-x10,2x1x2+

∴f(x1)-f(x2)0,∴f(x1)f(x2).

∴函数f(x)=2x-x在区间(0,+∞)上单调递减

二、B组

1.已知f(x)=x,若0ab1,则下列各式正确的是().

A.f(a)f(b)f1af

B.f1af1bf(b)f(

C.f(a)f(b)f1bf

D.f1af(a)f1bf(

解析:因为函数f(x)=x在区间(0,+∞)上单调递增,又0ab1b1a,所以f(a)f(b)f

答案:C

2.幂函数y=xα中α的取值集合C是-1,0,12,1,2,

A.-1,0

C.-1,1

解析:根据幂函数y=1x,y=x0,y=x,y=x,y=x2,y=x3的图象和解析式可知,当α=-1,12,1,3时,

答案:C

3.若函数f(x)是幂函数,且满足f(4)f(2)=1

A.-2 B.-12 C.2 D.

解析:设f(x)=xα(α为常数).

∵f(4)f(2)=1

∴f(x)=1x.于是f12=

答案:C

4.(多选题)已知函数f(x)=x,则下列说法正确的有().

A.若x1,则f(x)1

B.若0x1x2,则f(x1)

C.若0x1x2,则f(x1)

D.若0x1x2,则x2f(x1)x1f(x2)

解析:f(1)=1且函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,所以当x1时,f(x)1,A正确;

根据f(x)=x的图象得当0x1x2时,f(x1)+f(x2)2f(x1+x22),所以C正确,B错误;当0x1x2时,x2f(x1)x1f(x2)?f(x1)x1f(x2

答案:AC

5.已知幂函数f(x)=xα的部分对应值如下表:

x

1

1

f(x)

1

2

则函数f(x)的单调递增区间是.?

解析:因为f12=22,所以12α=22,得α=12,所以f(x

答案:[0,+∞)

6.已知幂函数f(x)=(m3-m+1)x12(1-8

(1)求f(x)的解析式;

(2)解不等式f(x+1)f(x-2).

解:(1)由f(x)是幂函数,得m3-m+1=1,解得m=0或m=±1.

又f(x)的图象与x轴和y轴都无交点,所以m=1,此时f(x)=x-4.