高三数学空间向量专题复习附答案.docx

一、利用向量处理平行与垂直问题

例1、在直三棱柱ABC?ABC

中，?ACB?900,?BAC?300,BC?1,A

A? 6,M

1 1 1 1

是CC

1

得中点。求证：AB?AM

C1

C1

z

B

1

A1

M

C

B

y

A

练习：棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？

z

D1 C1

A B1

1 P

D C y

x A B

例2如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M,N分别在对

角线BD,AE上，且BM?1BD,AN?1AE,求证：MN//平面CDE

3 3

z E

F

N

A D

y

B M

x C

练习1、在正方体ABCD?ABCD

中,E,F分别是BB

,CD中点，求证：DF?平面

ADE

1 1 1 1 1, 1

zDC

z

D

C

1

1

A

1

B

1

E

D

F

C

y

A

B

zPFEADyBxC2、如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中,?ABC?60?，PA?AC?a,PB?PD?2a,点E在PD上,且PE:ED=2:1.在棱PC上是否存在一点

z

P

F

E

A

D

y

B

x

C

二、利用空间向量求空间的角的问题

例1在正方体ABCD?ABCD

中,E，F

分别在AB

,CD

上，且E

B=1AB，

1 1 1 1 1 1

1 1, 1 1

1 1 4 1 1

DF=1DC，求BE与DF

所成的角的大小。

11 4 1 1 1 1

z

DF1 C

D

1 1

ABH E1

A

B

1

1

D C

y

A

x G B

例2在正方体ABCD?ABCD

中,F分别是BC的中点，点E在DC

上,且

1 1 1 1 11

DE?1DC

,试求直线EF与平面DAC所成角的大小

E1 1 4 1 1 1 1 z

E

D1 C

D

1 1

A B

1 1

D C

y

F

A B

x

例3在正方体ABCD?ABCD

中,求二面角A

BD?C

的大小。

1z

1

z

D

C

1

1

B

1

D

C

-2-

A

1

例4 已知E,F分别是正方体ABCD?ABCD的棱BC和CD的中点，求：

zDC11A1B1

z

D

C

1

1

A

1

B

1

D

F

C

y

E

A

B

1 1 1 1

A1F与平面B1EB所成角的大小；

二面角C?DB

1 1

B的大小。

x

3三、利用空间向量求空间的距离的问题例1直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=求点B1到平面A1BC的距离。

3

z

，底面ΔABC中，∠C=90°，AC=BC=1，

A1 C

A

1

B

1

x

A C

B

y

例2如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA?CB?CD?BD?2

2ADOAB?

2

A

D

O

求证：AO?平面BCD；

求异面直线AB与CD所成角的大小；

求点E到平面ACD的距离。

B E C

例3如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，

F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．

（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；

F（Ⅱ）求二面角B-AC-E的大小； D C

F

（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离。

A B

-3- E

空间向量与立体几何考点系统复习一、利用向量处理平行与垂直问题（特别是探索性问题）

例1、在直三棱柱ABC?ABC

中，?ACB?900,?BAC?300,BC?1,A

A? 6,M

1 1 1 1

是CC

1

得中点。求证：AB?AM

C1

C1

z

B

1

A1

M

C

B

y

A

证明：如图，建立空间坐标系

A( 3,0, 6),B(0,1,0),A( 3,0,0),M(0,0, 6)

1 2

AM?(? 3,0,

AM?AB?0

1

),A

62 1

6

B?(? 3,1,? 6)

练习：棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？

解：以D为原