高等数学知识点.docx

PAGE

PAGE1

高等数学知识点总结

空间解析几何与向量代数一、重点与难点

1、重点

①向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角；②数量积（是个数）、向量积（是个向量）；（填空选择题中考察）

③几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；（重积分求体积时画图需要）

④平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程），两平面的夹角；（一般必考）

⑤空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程），两直线的夹角、直线与平面的夹角；（一般必考）

空间解析几何和向量代数：

(x ?x)2?(y ?y

(x ?x)2?(y ?y)2?(z ?z)2

2 1 2 1 2 1

AB1 2

AB

向量在轴上的投影：PrjAB?

? ? ? u ?

?cos?,?是AB与u轴的夹角。

Prj(a?a)?Prja?Prja

? ?u 1? ?2 ? 1 2

a?b?a?bcos ?ab ?ab

x x y y

ab

z z

,是一个数量,

两向量之间的夹角：cos??

ab ?ab

a2?a

a2?a2?a2? b2?b

x y z x y

2?b2

z

ab

z z

? ? ? i j k ? ? ? ? ? ?

c?a?b?a a

x y

b b

x y

a,c?a?bsin?.例：线速度：v?w?r.

z

b

z

aa[???]?(???)???bx by

a

a

bz?????

?cos?,?为锐角时，

向量的混合积：abc

a b c

x y

c c

x y

a b c

az

a

c

z

代表平行六面体的体积。

平面的方程：

1、点法式：A(x?x

)?B(y?y

)?C(z?z

)?0

??{A,B,C},M

(x,y,z)

0 0 0

，其中n

0 0 0 0

2、一般方程：Ax?By?Cz?D?0

3 x y z

、截距世方程：? ? ?1

Ax ?

Ax ?By ?Cz ?D

0 0 0

A2?B2?C2

平面外任意一点到该平面的距离：d?

x?x y?y z?z

?x?x

? ? 0

mt

m n p ?空间直线的方程： 0? 0? 0?t,其中s?{m,n,p};参数方程：?y?y

m n p ?

nt

二次曲面：

0

?z?z ?pt

?

0

x2 y2 z2

、椭球面：

a2

? ? ?1

b2 c2

x2 y2

、抛物面： ? ?z（,p,q同号）

2p 2q

3、双曲面：

x2 y2 z2

单叶双曲面：

a2

? ? ?1

b2 c2

x2 y2 z2

双叶双曲面：

a2

? ?

b2 c2

?（1

马鞍面）

多元函数微分法及应用

全微分：dz??zdx??zdy du?

?u ?u ?u

dx? dy? dz

?x ?y ?x ?y ?z

全微分的近似计算：?z?dz?f

x

多元复合函数的求导法：

(x,y)?x?f

y

(x,y)?y

dz ?z ?u ?z ?v

z?f[u(t),v(t)] ? ? ? ?

dt ?u ?t ?v ?t

?z ?z ?u ?z ?v

z?f[u(x,y),v(x,y)]

?x?

?u??x

??v??x

当u?u(x,y)，v?v(x,y)时，

?u ?u ?v ?v

du??xdx??ydy dv??xdx??ydy

隐函数的求导公式：

dy F

d2y ? F

? F dy

隐函数F(x,y)?0， ?? x， ? (? x)＋ (? x)?

dx F

y

dx2

?x F

y

?y F dx

y

F隐函数F(x,y,z)?0，?z?? x，

F

?z??Fy

?x F

z

?y F

z

?F?u?G?u?F?v?G?v?F(x,y,u,v)

?F

?u

?G

?u

?F

?v

?G

?v

隐函数方程组：?

J? ?

? u v

?G(x,y,u,v)?0 ?(u,v) G G

?

u v

?u??1??(F,G) ?v??1??(F,G)

?x J ?