平面向量的数量积与运算律课件.pptx

平面向量的数量积与运算律课件

平面向量的数量积

平面向量的加减运算

平面向量的数乘运算

平面向量的混合运算

平面向量的数量积的几何意义

平面向量的数量积运算律

contents

目

录

01

平面向量的数量积

定义

两个向量的数量积是一个标量，记作$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$，定义为$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle$。其中，$|\mathbf{a}|$和$|\mathbf{b}|$分别是向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的模，$\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle$是向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的夹角。

要点一

要点二

性质

数量积满足非负性、共线性和对称性。非负性指$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\geq0$，共线性指如果$\lambda$是一个标量，则$(\lambda\mathbf{a})\cdot\mathbf{b}=\lambda(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})$，对称性指$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}$。

根据定义，计算两个向量的数量积需要先求出它们的模和夹角，可以使用向量的坐标表示或几何方法进行计算。

计算方法

假设有两个向量$\mathbf{a}=(1,2)$和$\mathbf{b}=(3,4)$，则$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=1\times3+2\times4=11$。

实例

数量积在物理学、工程学、计算机科学等领域都有广泛的应用，例如在力学中可以用来表示力矩、在电学中可以用来表示电动势等。

应用

数量积在解析几何中可以用来计算向量的长度、夹角、投影等，同时也是线性代数中矩阵乘法的关键组成部分。在解析几何中，数量积还可以用来判断两个向量的位置关系，例如两个向量平行时它们的数量积为零。

解析

02

平面向量的加减运算

向量加减运算的结果是一个新的向量，其方向和长度由两个向量的相对位置决定。

平行四边形定则

向量相等

向量的模

如果两个向量的长度相等且方向相同，则它们被认为是相等的。

一个向量的长度称为它的模，用符号表示。

03

02

01

三角形法则

两个向量相加时，可以将它们首尾相接，形成一个三角形，结果向量就是从第一个向量的起点到第二个向量的终点的连线。

在物理学中，向量加减运算可以用来描述物体的运动和力的情况。

在几何学中，向量加减运算可以用来计算角度、距离等几何量。

在电动力学中，向量加减运算可以用来描述电磁场的分布和变化。

03

平面向量的数乘运算

数乘运算是指将一个实数与一个向量相乘，得到一个新的向量。

数乘运算不改变向量的方向，但可以改变向量的长度。

性质

定义

计算方法

将实数与向量相乘，得到新的向量的坐标值。

实例

假设有一个向量$\overset{\longrightarrow}{a}=(1,2)$，那么$2\overset{\longrightarrow}{a}=(2,4)$。

应用

数乘运算在物理学、工程学、几何学等领域都有广泛的应用。

解析

数乘运算可以用来解决实际问题，如计算向量的长度、角度、位移等。

04

平面向量的混合运算

性质

非零向量的数量积为正；

向量的数量积满足交换律和结合律。

向量的数量积等于其模的乘积；

定义：平面向量的数量积是指两个向量相乘得到的标量，记作a·b。

平面向量的数量积在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用。

应用

通过实例和练习题，让学生掌握平面向量的混合运算方法和性质，培养学生的数学思维和解决问题的能力。

解析

05

平面向量的数量积的几何意义

计算方法

根据定义，可得出计算公式为a·b=|a||b|cosθ。当已知两个向量的模长和夹角时，可直接计算出数量积。

实例

对于向量a=(1,2)和b=(3,4)，由于a·b=|a||b|cosθ=1×3+2×4=11，因此a与b之间的夹角θ满足cosθ=11/(5×5)=11/25。

VS

数量积在物理、工程、计算机等领域都有广泛的应用，例如在物理学中，力、速度、加速度等矢量的合成与分解都需要用到数量积。

解析

对于两个向量a和b，它们的数量积可以表示为a·b=|a||b|cosθ，其中θ是a与b之间的夹角。这个公式可以用来计算两个向量的夹角以及一个向量在另一个向量上的投影等。

应用

06

平面向量的数量积运算律